MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveq0 23667
Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dveq0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dveq0.c (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dveq0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
Assertion
Ref Expression
dveq0 (𝜑𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}))

Proof of Theorem dveq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dveq0.c . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2 cncff 22604 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4 ffn 6002 . . 3 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
6 fvex 6158 . . 3 (𝐹𝐴) ∈ V
7 fnconstg 6050 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
86, 7mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
96fvconst2 6423 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥) = (𝐹𝐴))
109adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥) = (𝐹𝐴))
113adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
12 dveq0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413rexrd 10033 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 dveq0.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716rexrd 10033 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 elicc2 12180 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1912, 15, 18syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2019biimpa 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
2120simp1d 1071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2220simp2d 1072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
2320simp3d 1073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
2413, 21, 16, 22, 23letrd 10138 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐵)
25 lbicc2 12230 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2614, 17, 24, 25syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2711, 26ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
283ffvelrnda 6315 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10336 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
30 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3126, 30jca 554 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32 dveq0.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
3332dmeqd 5286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
34 c0ex 9978 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3534snnz 4279 . . . . . . . . . . 11 {0} ≠ ∅
36 dmxp 5304 . . . . . . . . . . 11 ({0} ≠ ∅ → dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵)
3833, 37syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
39 0red 9985 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4032fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦))
4134fvconst2 6423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦) = 0)
4240, 41sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 0)
4342abs00bd 13965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = 0)
44 0le0 11054 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
4543, 44syl6eqbr 4652 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 0)
4612, 15, 1, 38, 39, 45dvlip 23660 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴𝑥))))
4731, 46syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴𝑥))))
4813recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4921recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150abscld 14109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴𝑥)) ∈ ℝ)
5251recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴𝑥)) ∈ ℂ)
5352mul02d 10178 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (abs‘(𝐴𝑥))) = 0)
5447, 53breqtrd 4639 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0)
5529absge0d 14117 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))
5629abscld 14109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
57 0re 9984 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
58 letri3 10067 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))))
5956, 57, 58sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))))
6054, 55, 59mpbir2and 956 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0)
6129, 60abs00d 14119 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥)) = 0)
6227, 28, 61subeq0d 10344 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) = (𝐹𝑥))
6310, 62eqtr2d 2656 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥))
645, 8, 63eqfnfvd 6270 1 (𝜑𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  *cxr 10017  cle 10019  cmin 10210  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  abscabs 13908  cnccncf 22587   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  ftc2  23711  ftc2nc  33123
  Copyright terms: Public domain W3C validator