MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp 23761
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥𝑛) = (𝑥↑1))
21mpteq2dv 4778 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)))
32oveq2d 6706 . . 3 (𝑛 = 1 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))))
4 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
5 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
74, 6oveq12d 6708 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
87mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))))
93, 8eqeq12d 2666 . 2 (𝑛 = 1 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))))
10 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
1110mpteq2dv 4778 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
1211oveq2d 6706 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
14 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
1514oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑘 − 1)))
1613, 15oveq12d 6708 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
1716mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
1812, 17eqeq12d 2666 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))))
19 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
2019mpteq2dv 4778 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
2120oveq2d 6706 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
22 id 22 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
23 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2423oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))
2522, 24oveq12d 6708 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))
2625mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2721, 26eqeq12d 2666 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
28 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑁))
2928mpteq2dv 4778 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
3029oveq2d 6706 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))))
31 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁𝑛 = 𝑁)
32 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3332oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
3431, 33oveq12d 6708 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
3534mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
3630, 35eqeq12d 2666 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
37 exp1 12906 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
3837mpteq2ia 4773 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
39 mptresid 5491 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
4038, 39eqtri 2673 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = ( I ↾ ℂ)
4140oveq2i 6701 . . 3 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
42 1m1e0 11127 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4342oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (𝑥↑(1 − 1)) = (𝑥↑0)
44 exp0 12904 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
4543, 44syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑(1 − 1)) = 1)
4645oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = (1 · 1))
47 1t1e1 11213 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
4846, 47syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = 1)
4948mpteq2ia 4773 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
50 fconstmpt 5197 . . . . 5 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
5149, 50eqtr4i 2676 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ × {1})
52 dvid 23726 . . . 4 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
5351, 52eqtr4i 2676 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
5441, 53eqtr4i 2676 . 2 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
55 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
57 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
58 pncan 10325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5956, 57, 58sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
6059oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑥𝑘))
6160oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)))
6257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
63 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
64 nnnn0 11337 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
65 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6663, 64, 65syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6756, 62, 66adddird 10103 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))))
6866mulid2d 10096 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · (𝑥𝑘)) = (𝑥𝑘))
6968oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7061, 67, 693eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7170mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
72 cnex 10055 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
7456, 66mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
75 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
76 expcl 12918 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7763, 75, 76syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7856, 77mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
79 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
8139eqcomi 2660 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
8281a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
8373, 78, 79, 80, 82offval2 6956 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)))
8456, 77, 79mulassd 10101 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
85 expm1t 12928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8685ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
8884, 87eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · (𝑥𝑘)))
8988mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9083, 89eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9152, 50eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
93 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9473, 62, 66, 92, 93offval2 6956 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))))
9568mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9694, 95eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9773, 74, 66, 90, 96offval2 6956 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
9871, 97eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
99 oveq1 6697 . . . . . . 7 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)))
10099oveq1d 6705 . . . . . 6 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
101100eqcomd 2657 . . . . 5 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
10298, 101sylan9eq 2705 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
103 cnelprrecn 10067 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
104103a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
105 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))
10666, 105fmptd 6425 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
107106adantr 480 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
108 f1oi 6212 . . . . . 6 ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
109 f1of 6175 . . . . . 6 (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
110108, 109mp1i 13 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
111 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
112111dmeqd 5358 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
113 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
11478, 113fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
115114adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
116 fdm 6089 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
117115, 116syl 17 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
118112, 117eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = ℂ)
119 1ex 10073 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
120119fconst 6129 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
12152feq1i 6074 . . . . . . . 8 ((ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1} ↔ (ℂ × {1}):ℂ⟶{1})
122120, 121mpbir 221 . . . . . . 7 (ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1}
123122fdmi 6090 . . . . . 6 dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
124123a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ)
125104, 107, 110, 118, 124dvmulf 23751 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
12673, 66, 79, 93, 82offval2 6956 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
127 expp1 12907 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
12863, 64, 127syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
129128mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
130126, 129eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
131130oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
132131adantr 480 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
133102, 125, 1323eqtr2rd 2692 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
134133ex 449 . 2 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1359, 18, 27, 36, 54, 134nnind 11076 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210  {cpr 4212  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  cres 5145  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cexp 12900   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvexp2  23762  dvexp3  23786  taylthlem2  24173  advlogexp  24446  logdivsum  25267  log2sumbnd  25278  dvasin  33626  areacirclem1  33630  itgpowd  38117  lhe4.4ex1a  38845  dvsinexp  40443  dvxpaek  40473
  Copyright terms: Public domain W3C validator