MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm2lem 23687
Description: Lemma for dvferm 23689. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
dvferm2.z (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 ne0i 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
3 ndmioo 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
43necon1ai 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
51, 2, 43syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
65simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7 eliooord 12191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑈𝑈 < 𝐵))
98simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 < 𝐵)
10 ioossre 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1110, 1sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1211rexrd 10049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
13 xrltle 11942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑈 < 𝐵𝑈𝐵))
1412, 6, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 < 𝐵𝑈𝐵))
159, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈𝐵)
16 iooss2 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑈𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
176, 15, 16syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
18 dvferm.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
1917, 18sstrd 3598 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
20 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
21 mnfxr 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
23 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
2423rpred 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2511, 24resubcld 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ)
2625rexrd 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈𝑇) ∈ ℝ*)
275simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2826, 27ifcld 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
29 mnflt 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈𝑇))
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -∞ < (𝑈𝑇))
31 xrmax2 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
3227, 26, 31syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
3322, 26, 28, 30, 32xrltletrd 11952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
3411, 23ltsubrpd 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑈)
358simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 < 𝑈)
36 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → ((𝑈𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
37 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈))
3836, 37ifboth 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑈𝑇) < 𝑈𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
3934, 35, 38syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)
40 xrre2 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
4122, 28, 12, 33, 39, 40syl32anc 1331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
4241, 11readdcld 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
4342rehalfcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
4420, 43syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4544rexrd 10049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
46 xrmax1 11965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
4727, 26, 46syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴))
48 avglt1 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
4941, 11, 48syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
5039, 49mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
5150, 20syl6breqr 4665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑆)
5227, 28, 45, 47, 51xrlelttrd 11951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝑆)
53 avglt2 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
5441, 11, 53syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
5539, 54mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈𝑇), (𝑈𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
5620, 55syl5eqbr 4658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 < 𝑈)
57 elioo2 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
5827, 12, 57syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆𝑆 < 𝑈)))
5944, 52, 56, 58mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
6019, 59sseldd 3589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑋)
6144, 56ltned 10133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑈)
62 eldifsn 4294 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑈))
6360, 61, 62sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
64 dvferm2.l . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6544, 11, 56ltled 10145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆𝑈)
6644, 11, 65abssuble0d 14121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) = (𝑈𝑆))
6725, 41, 44, 32, 51lelttrd 10155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑇) < 𝑆)
6811, 24, 44, 67ltsub23d 10592 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑆) < 𝑇)
6966, 68eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)
7061, 69jca 554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
71 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈𝑆𝑈))
72 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (𝑧𝑈) = (𝑆𝑈))
7372fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧𝑈)) = (abs‘(𝑆𝑈)))
7473breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇))
7571, 74anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇)))
76 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑆 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑆))
7776oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
7877, 72oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
7978oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑆 → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
8079fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
8180breq1d 4633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
8275, 81imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
8382rspcv 3295 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((𝑆𝑈 ∧ (abs‘(𝑆𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
8463, 64, 70, 83syl3c 66 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
85 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
8685, 60ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
8718, 1sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑋)
8885, 87ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8986, 88resubcld 10418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ)
9044, 11resubcld 10418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℝ)
9144recnd 10028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
9211recnd 10028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9391, 92, 61subne0d 10361 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈) ≠ 0)
9489, 90, 93redivcld 10813 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∈ ℝ)
95 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
96 dvfre 23654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
9785, 95, 96syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
98 dvferm.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9997, 98ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
10099renegcld 10417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
10194, 99, 100absdifltd 14122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
10284, 101mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) ∧ (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
103102simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
10499recnd 10028 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
105104negidd 10342 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
106103, 105breqtrd 4649 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0)
10794lt0neg1d 10557 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈))))
108106, 107mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)))
10989recnd 10028 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℂ)
11090recnd 10028 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈) ∈ ℂ)
111109, 110, 93divneg2d 10775 . . . . 5 (𝜑 → -(((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / (𝑆𝑈)) = (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
112108, 111breqtrd 4649 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈)))
11390renegcld 10417 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑆𝑈) ∈ ℝ)
11444, 11posdifd 10574 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈𝑆)))
11556, 114mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑈𝑆))
11691, 92negsubdi2d 10368 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆𝑈) = (𝑈𝑆))
117115, 116breqtrrd 4651 . . . . 5 (𝜑 → 0 < -(𝑆𝑈))
118 gt0div 10849 . . . . 5 ((((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆𝑈)) → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
11989, 113, 117, 118syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)) / -(𝑆𝑈))))
120112, 119mpbird 247 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈)))
12188, 86posdifd 10574 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − (𝐹𝑈))))
122120, 121mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
123 dvferm2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
124 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
125124breq1d 4633 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
126125rspcv 3295 . . . 4 (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈)))
12759, 123, 126sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈))
12886, 88lenltd 10143 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆)))
129127, 128mpbid 222 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑆))
130122, 129pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  cdif 3557  wss 3560  c0 3897  ifcif 4064  {csn 4155   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  +crp 11792  (,)cioo 12133  abscabs 13924   D cdv 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571
This theorem is referenced by:  dvferm2  23688
  Copyright terms: Public domain W3C validator