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Theorem dvfsum2 23996
Description: The reverse of dvfsumrlim 23993, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum2.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum2.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum2.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵𝐶)
dvfsum2.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsum2.0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsum2.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsum2.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsum2.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsum2.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsum2.e (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
dvfsum2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐸   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑈,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑆)
2 fzfid 12966 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6syl6eleqr 2850 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3448 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122, 11fsumrecl 14664 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
1615nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
1817eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3443 . . . . . . . 8 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2112, 20resubcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
22 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑌
23 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥
2523, 24, 15nfov 6839 . . . . . . 7 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
26 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
2726oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
2827sumeq1d 14630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
2928, 17oveq12d 6831 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
30 dvfsum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
3122, 25, 29, 30fvmptf 6463 . . . . . 6 ((𝑌𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
321, 21, 31syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
33 dvfsum2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
34 fzfid 12966 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35 elfzuz 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6syl6eleqr 2850 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
374, 36, 10syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
3834, 37fsumrecl 14664 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴
4039nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
41 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
4241eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4340, 42rspc 3443 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4538, 44resubcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
46 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑋
47 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
4847, 24, 39nfov 6839 . . . . . . 7 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)
49 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
5049oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
5150sumeq1d 14630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
5251, 41oveq12d 6831 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5346, 48, 52, 30fvmptf 6463 . . . . . 6 ((𝑋𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5433, 45, 53syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5532, 54oveq12d 6831 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
5655fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
5721recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
5845recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
5957, 58abssubd 14391 . . 3 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
6056, 59eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62 ioossre 12428 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
6361, 62eqsstri 3776 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 23986 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867ralrimiva 3104 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝐸)
7069eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
7170rspcv 3445 . . . . . 6 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
721, 68, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7321, 72resubcld 10650 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
7463, 33sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
75 reflcl 12791 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7774, 76resubcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
8079nfel1 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
81 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
8281eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8378, 80, 82cbvral 3306 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
8468, 83sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
85 csbeq1 3677 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
8685eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8786rspcv 3445 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8833, 84, 87sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
8977, 88remulcld 10262 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9089, 45readdcld 10261 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
9190, 88resubcld 10650 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9263, 1sseldi 3742 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
93 reflcl 12791 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
9592, 94resubcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
9695, 72remulcld 10262 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 21readdcld 10261 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
9897, 72resubcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99 fracge0 12799 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102101expr 644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103102ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑋)
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑌)
107104, 74, 92, 105, 106letrd 10386 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑌)
108 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐷𝑥𝐷𝑌))
10969breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110108, 109imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111110rspcv 3445 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
1121, 103, 107, 111syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
11395, 72, 100, 112mulge0d 10796 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
11421, 96addge02d 10808 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
115113, 114mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
11621, 97, 72, 115lesub1dd 10835 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸))
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
12013renegcld 10649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
12167renegcld 10649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
1223renegcld 10649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123 reelprrecn 10220 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12513recnd 10260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126124, 125, 65, 66dvmptneg 23928 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ -𝐵))
1278negeqd 10467 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵𝐶)
13067adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1311303adant3 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132 simp2r 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝑘𝑆)
133683ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
1349rspcv 3445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135132, 133, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136131, 135lenegd 10798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → (𝐵𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137129, 136mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑈)
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 23990 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵)))
141140simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵))
14277recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
14388recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143mulneg2d 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
14538recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
14644recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
147145, 146neg2subd 10601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = (𝑋 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
14837recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
14934, 148fsumneg 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150149oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
151145, 146negsubdi2d 10600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) = (𝑋 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152147, 150, 1513eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
153144, 152oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
15489recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
155154, 58negdid 10597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
156153, 155eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
15790renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
158156, 157eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
159 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ·
161 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
162161nfneg 10469 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑋 / 𝑥𝐵
163159, 160, 162nfov 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵)
164 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 +
165 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
16639nfneg 10469 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑋 / 𝑥𝐴
167165, 24, 166nfov 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)
168163, 164, 167nfov 6839 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
170169, 49oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
172171negeqd 10467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
173170, 172oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵))
17450sumeq1d 14630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
17541negeqd 10467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -𝑋 / 𝑥𝐴)
176174, 175oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
177173, 176oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
17846, 168, 177, 138fvmptf 6463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
17933, 158, 178syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
180179, 156eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
181 csbnegg 10470 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑆𝑋 / 𝑥-𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 / 𝑥-𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
183180, 182oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵))
18495recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
18572recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
186184, 185mulneg2d 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
18712recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
18820recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
189187, 188neg2subd 10601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
19011recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
1912, 190fsumneg 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192191oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
193187, 188negsubdi2d 10600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194189, 192, 1933eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
195186, 194oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
19696recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197196, 57negdid 10597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
198195, 197eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
19997renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
200198, 199eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
201 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
20315nfneg 10469 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑌 / 𝑥𝐴
204202, 24, 203nfov 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)
205201, 164, 204nfov 6839 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
207206, 26oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
20869negeqd 10467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209207, 208oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
21027sumeq1d 14630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
21117negeqd 10467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -𝑌 / 𝑥𝐴)
212210, 211oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
213209, 212oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
21422, 205, 213, 138fvmptf 6463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
2151, 200, 214syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
216215, 198eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
217208adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
2181, 217csbied 3701 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 / 𝑥-𝐵 = -𝐸)
219216, 218oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸))
220141, 183, 2193brtr3d 4835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸))
22190recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
222221, 143neg2subd 10601 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
22397recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
224223, 185neg2subd 10601 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
225220, 222, 2243brtr3d 4835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
226221, 143negsubdi2d 10600 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
227223, 185negsubdi2d 10600 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
228225, 226, 2273brtr4d 4836 . . . . . 6 (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸))
22998, 91lenegd 10798 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸)))
230228, 229mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
23173, 98, 91, 116, 230letrd 10386 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
232 1red 10247 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233 nfv 1992 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝐷𝑋
234 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
235 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥
236234, 235, 161nfbr 4851 . . . . . . . . . . 11 𝑥0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵
237233, 236nfim 1974 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
238 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
239171breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
240238, 239imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
241237, 240rspc 3443 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
24233, 103, 105, 241syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
243 fracle1 12798 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 11155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵))
246143mulid2d 10250 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
247245, 246breqtrd 4830 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
24889, 88, 45, 247leadd1dd 10833 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
24990, 88, 45lesubadd2d 10818 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
250248, 249mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
25173, 91, 45, 231, 250letrd 10386 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
25221, 72readdcld 10261 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253 fracge0 12799 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
25474, 253syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
25577, 88, 254, 242mulge0d 10796 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
25645, 89addge02d 10808 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
257255, 256mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
258140simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259258, 216, 1803brtr3d 4835 . . . . . 6 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
26090, 97lenegd 10798 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
261259, 260mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
262 fracle1 12798 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 11155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265185mulid2d 10250 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266264, 265breqtrd 4830 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
26796, 72, 21, 266leadd1dd 10833 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
268185, 57addcomd 10430 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
269267, 268breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27090, 97, 252, 261, 269letrd 10386 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27145, 90, 252, 257, 270letrd 10386 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27245, 21, 72absdifled 14372 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))))
273251, 271, 272mpbir2and 995 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝐸)
27460, 273eqbrtrd 4826 1 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  csb 3674  wss 3715  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459  cz 11569  cuz 11879  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  cfl 12785  abscabs 14173  Σcsu 14615   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  25147  log2sumbnd  25432
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