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Theorem dvfsum2 23701
Description: The reverse of dvfsumrlim 23698, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum2.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum2.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum2.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵𝐶)
dvfsum2.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsum2.0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsum2.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsum2.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsum2.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsum2.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsum2.e (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
dvfsum2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐸   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑈,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑆)
2 fzfid 12712 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 12280 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6syl6eleqr 2709 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3294 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122, 11fsumrecl 14398 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
1615nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
1817eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3289 . . . . . . . 8 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2112, 20resubcld 10402 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
22 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥𝑌
23 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥
2523, 24, 15nfov 6630 . . . . . . 7 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
26 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
2726oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
2827sumeq1d 14365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
2928, 17oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
30 dvfsum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
3122, 25, 29, 30fvmptf 6257 . . . . . 6 ((𝑌𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
321, 21, 31syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
33 dvfsum2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
34 fzfid 12712 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35 elfzuz 12280 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6syl6eleqr 2709 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
374, 36, 10syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
3834, 37fsumrecl 14398 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴
4039nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
41 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
4241eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4340, 42rspc 3289 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4538, 44resubcld 10402 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
46 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥𝑋
47 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
4847, 24, 39nfov 6630 . . . . . . 7 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)
49 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
5049oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
5150sumeq1d 14365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
5251, 41oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5346, 48, 52, 30fvmptf 6257 . . . . . 6 ((𝑋𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5433, 45, 53syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5532, 54oveq12d 6622 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
5655fveq2d 6152 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
5721recnd 10012 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
5845recnd 10012 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
5957, 58abssubd 14126 . . 3 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
6056, 59eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62 ioossre 12177 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
6361, 62eqsstri 3614 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 23691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝐸)
7069eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
7170rspcv 3291 . . . . . 6 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
721, 68, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7321, 72resubcld 10402 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
7463, 33sseldi 3581 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
75 reflcl 12537 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7774, 76resubcld 10402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
8079nfel1 2775 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
81 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
8281eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8378, 80, 82cbvral 3155 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
8468, 83sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
85 csbeq1 3517 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
8685eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8786rspcv 3291 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8833, 84, 87sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
8977, 88remulcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9089, 45readdcld 10013 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
9190, 88resubcld 10402 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9263, 1sseldi 3581 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
93 reflcl 12537 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
9592, 94resubcld 10402 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
9695, 72remulcld 10014 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 21readdcld 10013 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
9897, 72resubcld 10402 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99 fracge0 12545 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102101expr 642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103102ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑋)
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑌)
107104, 74, 92, 105, 106letrd 10138 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑌)
108 breq2 4617 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐷𝑥𝐷𝑌))
10969breq2d 4625 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110108, 109imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111110rspcv 3291 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
1121, 103, 107, 111syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
11395, 72, 100, 112mulge0d 10548 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
11421, 96addge02d 10560 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
115113, 114mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
11621, 97, 72, 115lesub1dd 10587 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸))
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
12013renegcld 10401 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
12167renegcld 10401 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
1223renegcld 10401 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123 reelprrecn 9972 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12513recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126124, 125, 65, 66dvmptneg 23635 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ -𝐵))
1278negeqd 10219 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵𝐶)
13067adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1311303adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132 simp2r 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝑘𝑆)
133683ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
1349rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135132, 133, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136131, 135lenegd 10550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → (𝐵𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137129, 136mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑈)
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 23695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵)))
141140simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵))
14277recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
14388recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143mulneg2d 10428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
14538recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
14644recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
147145, 146neg2subd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = (𝑋 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
14837recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
14934, 148fsumneg 14447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150149oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
151145, 146negsubdi2d 10352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) = (𝑋 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152147, 150, 1513eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
153144, 152oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
15489recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
155154, 58negdid 10349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
156153, 155eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
15790renegcld 10401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
158156, 157eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
159 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ·
161 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
162161nfneg 10221 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑋 / 𝑥𝐵
163159, 160, 162nfov 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵)
164 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 +
165 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
16639nfneg 10221 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑋 / 𝑥𝐴
167165, 24, 166nfov 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)
168163, 164, 167nfov 6630 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
170169, 49oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
172171negeqd 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
173170, 172oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵))
17450sumeq1d 14365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
17541negeqd 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -𝑋 / 𝑥𝐴)
176174, 175oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
177173, 176oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
17846, 168, 177, 138fvmptf 6257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
17933, 158, 178syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
180179, 156eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
181 csbnegg 10222 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑆𝑋 / 𝑥-𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 / 𝑥-𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
183180, 182oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵))
18495recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
18572recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
186184, 185mulneg2d 10428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
18712recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
18820recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
189187, 188neg2subd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
19011recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
1912, 190fsumneg 14447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192191oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
193187, 188negsubdi2d 10352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194189, 192, 1933eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
195186, 194oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
19696recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197196, 57negdid 10349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
198195, 197eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
19997renegcld 10401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
200198, 199eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
201 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
20315nfneg 10221 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑌 / 𝑥𝐴
204202, 24, 203nfov 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)
205201, 164, 204nfov 6630 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
207206, 26oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
20869negeqd 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209207, 208oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
21027sumeq1d 14365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
21117negeqd 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -𝑌 / 𝑥𝐴)
212210, 211oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
213209, 212oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
21422, 205, 213, 138fvmptf 6257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
2151, 200, 214syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
216215, 198eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
217208adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
2181, 217csbied 3541 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 / 𝑥-𝐵 = -𝐸)
219216, 218oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸))
220141, 183, 2193brtr3d 4644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸))
22190recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
222221, 143neg2subd 10353 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
22397recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
224223, 185neg2subd 10353 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
225220, 222, 2243brtr3d 4644 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
226221, 143negsubdi2d 10352 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
227223, 185negsubdi2d 10352 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
228225, 226, 2273brtr4d 4645 . . . . . 6 (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸))
22998, 91lenegd 10550 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸)))
230228, 229mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
23173, 98, 91, 116, 230letrd 10138 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
232 1red 9999 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝐷𝑋
234 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
235 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥
236234, 235, 161nfbr 4659 . . . . . . . . . . 11 𝑥0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵
237233, 236nfim 1822 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
238 breq2 4617 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
239171breq2d 4625 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
240238, 239imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
241237, 240rspc 3289 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
24233, 103, 105, 241syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
243 fracle1 12544 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 10907 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵))
246143mulid2d 10002 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
247245, 246breqtrd 4639 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
24889, 88, 45, 247leadd1dd 10585 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
24990, 88, 45lesubadd2d 10570 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
250248, 249mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
25173, 91, 45, 231, 250letrd 10138 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
25221, 72readdcld 10013 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253 fracge0 12545 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
25474, 253syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
25577, 88, 254, 242mulge0d 10548 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
25645, 89addge02d 10560 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
257255, 256mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
258140simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259258, 216, 1803brtr3d 4644 . . . . . 6 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
26090, 97lenegd 10550 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
261259, 260mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
262 fracle1 12544 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 10907 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265185mulid2d 10002 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266264, 265breqtrd 4639 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
26796, 72, 21, 266leadd1dd 10585 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
268185, 57addcomd 10182 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
269267, 268breqtrd 4639 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27090, 97, 252, 261, 269letrd 10138 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27145, 90, 252, 257, 270letrd 10138 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27245, 21, 72absdifled 14107 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))))
273251, 271, 272mpbir2and 956 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝐸)
27460, 273eqbrtrd 4635 1 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  csb 3514  wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211  cz 11321  cuz 11631  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  cfl 12531  abscabs 13908  Σcsu 14350   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  24848  log2sumbnd  25133
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