MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 23766
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 df-neg 10254 . . . . . 6 -𝐴 = (0 − 𝐴)
32mpteq2i 4732 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴))
4 eqid 2620 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54subcn 22650 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6 0red 10026 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 11677 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zred 11467 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 11682 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211zred 11467 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 12240 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
149, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
15 ax-resscn 9978 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15syl6ss 3607 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 cncfmptc 22695 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumle.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 10330 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 22699 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22syl5eqel 2703 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 10264 . . . . 5 -𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → -𝐵 ∈ V)
26 reelprrecn 10013 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 ioossicc 12244 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3591 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 22677 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3120, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
32 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
3332fmpt 6367 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3431, 33sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
3534r19.21bi 2929 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3629, 35sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3736recnd 10053 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 dvfsumle.v . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
39 dvfsumle.b . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
4027, 37, 38, 39dvmptneg 23710 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐵))
41 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
4241negeqd 10260 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐶)
43 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
4443negeqd 10260 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐷)
45 dvfsumle.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4645renegcld 10442 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → -𝑋 ∈ ℝ)
47 dvfsumge.l . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
489adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4948rexrd 10074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
50 elfzole1 12462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
52 iooss1 12195 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5349, 51, 52syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5412adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554rexrd 10074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
56 fzofzp1 12549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
58 elfzle2 12330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
60 iooss2 12196 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6155, 59, 60syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6253, 61sstrd 3605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6362sselda 3595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
6435adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6529, 64sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
66 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)
6765, 66fmptd 6371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
68 ioossre 12220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
69 dvfre 23695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7067, 68, 69sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7139adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7271dmeqd 5315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7338adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
7473ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
75 dmmptg 5620 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7772, 76eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7871, 77feq12d 6020 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
7970, 78mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
80 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
8180fmpt 6367 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8279, 81sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
8382r19.21bi 2929 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8463, 83syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8584anasss 678 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8645adantrr 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8785, 86lenegd 10591 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (𝐵𝑋 ↔ -𝑋 ≤ -𝐵))
8847, 87mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → -𝑋 ≤ -𝐵)
891, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88dvfsumle 23765 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≤ (-𝐷 − -𝐶))
90 fzofi 12756 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
9245recnd 10053 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9391, 92fsumneg 14500 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
949rexrd 10074 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
9512rexrd 10074 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
96 eluzle 11685 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
971, 96syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
98 ubicc2 12274 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9994, 95, 97, 98syl3anc 1324 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10043eleq1d 2684 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
101100rspcv 3300 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ))
10299, 34, 101sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
103102recnd 10053 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
104 lbicc2 12273 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10594, 95, 97, 104syl3anc 1324 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10641eleq1d 2684 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
107106rspcv 3300 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
108105, 34, 107sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109108recnd 10053 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
110103, 109neg2subd 10394 . . . 4 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = (𝐶𝐷))
111103, 109negsubdi2d 10393 . . . 4 (𝜑 → -(𝐷𝐶) = (𝐶𝐷))
112110, 111eqtr4d 2657 . . 3 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = -(𝐷𝐶))
11389, 93, 1123brtr3d 4675 . 2 (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶))
114102, 108resubcld 10443 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
11591, 45fsumrecl 14446 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
116114, 115lenegd 10591 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶)))
117113, 116mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  wss 3567  {cpr 4170   class class class wbr 4644  cmpt 4720  dom cdm 5104  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  *cxr 10058  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252  cz 11362  cuz 11672  (,)cioo 12160  [,]cicc 12163  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449  Σcsu 14397  TopOpenctopn 16063  fldccnfld 19727  cnccncf 22660   D cdv 23608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator