MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumle 23701
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumle.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvfsumle (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12720 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumle.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11643 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11648 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 12278 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 3816 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11syl6eqss 3639 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 22615 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
17 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 6342 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1916, 18sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3292 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 12513 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3521 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3297 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 12433 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3521 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3297 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 10409 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 12418 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140zred 11433 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 10019 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
43 ax-1cn 9945 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
44 pncan2 10239 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4542, 43, 44sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4645oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
473recnd 10019 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
48 peano2re 10160 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 10019 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 42subdid 10437 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
5247mulid1d 10008 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2663 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
54 eqid 2621 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5554mulcn 22589 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
566zred 11433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 11433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 12426 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
6160adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
6228adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 12294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
65 iccss 12190 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 12204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6968adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
7066, 69sstrd 3597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
71 ax-resscn 9944 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7270, 71syl6ss 3599 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
74 cncfmptc 22633 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 22634 . . . . . . 7 (((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 9972 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 22637 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 9979 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8257rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 12159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8559rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 12160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 12208 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
9069, 71syl6ss 3599 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
9189, 90syl5ss 3598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
9288, 91sstrd 3597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
9392sselda 3587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
94 1cnd 10007 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
9573sselda 3587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96 1cnd 10007 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9781dvmptid 23639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 12184 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
10054tgioo2 22525 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 22488 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 23645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 23646 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)))
10552mpteq2dv 4710 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 4714 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
10966resmptd 5416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 22619 . . . . . . . 8 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
114108, 113syl5eqelr 2703 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
116115, 18sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3583 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 446 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 10019 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
12189sseli 3583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
12219r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)
126124, 125fmptd 6346 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
127 ioossre 12184 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
128 dvfre 23633 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
129126, 127, 128sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
130 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
131130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
132131dmeqd 5291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
133 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
134133adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
135134ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
136 dmmptg 5596 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
138132, 137eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
139131, 138feq12d 5995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
140129, 139mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
141 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
142141fmpt 6342 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
143140, 142sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
144 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
145144nfel1 2775 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
146 csbeq1a 3527 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
147146eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
148145, 147rspc 3292 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
149143, 148mpan9 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
150107, 20, 22cbvmpt 4714 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
151150oveq2i 6621 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
152 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
153152, 144, 146cbvmpt 4714 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵)
154131, 151, 1533eqtr3g 2678 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
15581, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102dvmptres 23645 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
156 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
157156anassrs 679 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝐵)
158157ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵)
159 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑋
160 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥
161159, 160, 144nfbr 4664 . . . . . . 7 𝑥 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵
162146breq2d 4630 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
163161, 162rspc 3292 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
164158, 163mpan9 486 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
16541rexrd 10040 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
16649rexrd 10040 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
16741lep1d 10906 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
168 lbicc2 12237 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
169165, 166, 167, 168syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
170 ubicc2 12238 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
171165, 166, 167, 170syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
172 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑦 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑘))
173 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
17441, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29dvle 23687 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
17553, 174eqbrtrrd 4642 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
1762, 3, 38, 175fsumle 14465 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
177 vex 3192 . . . . 5 𝑦 ∈ V
178177a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
179 eqeq2 2632 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
180179biimpa 501 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
181 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
182180, 181syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
183178, 182csbied 3545 . . 3 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
184177a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
185 eqeq2 2632 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
186185biimpa 501 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
187 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
188186, 187syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
189184, 188csbied 3545 . . 3 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
19026recnd 10019 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
19134, 29, 183, 189, 4, 190telfsumo2 14469 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
192176, 191breqtrd 4644 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  csb 3518  cin 3558  wss 3559  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  cc 9885  cr 9886  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  *cxr 10024  cle 10026  cmin 10217  cz 11328  cuz 11638  (,)cioo 12124  [,]cicc 12127  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  Σcsu 14357  TopOpenctopn 16010  topGenctg 16026  fldccnfld 19674  cnccncf 22598   D cdv 23546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550
This theorem is referenced by:  dvfsumge  23702
  Copyright terms: Public domain W3C validator