MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 23988
Description: Lemma for dvfsumrlim 23993. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12428 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3776 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3742 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87flcld 12793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9 reflcl 12791 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11 flle 12794 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑌)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 10386 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15 flbi 12811 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
1615baibd 986 . . . . . . . 8 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
1817biimpar 503 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
1918oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
2019oveq1d 6828 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
2118oveq2d 6829 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
2221sumeq1d 14630 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
2322oveq1d 6828 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
2420, 23oveq12d 6831 . . 3 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
25 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
267adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726flcld 12793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
2827peano2zd 11677 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
2925, 28eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30 flid 12803 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3231, 25eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
3332oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
3433oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
355recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3610recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38 1cnd 10248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 23986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
4746nfel1 2917 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
48 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
4948eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
5047, 49rspc 3443 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
514, 45, 50sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
5237, 38, 51subdird 10679 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
5335, 36, 38subsub4d 10615 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
5453oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
5551mulid2d 10250 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
5655oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5752, 54, 563eqtr3d 2802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5857adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5934, 58eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
618peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
6260zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
63 peano2rem 10540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6862, 67, 65lesubaddd 10816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
6966, 68mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷𝑋)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 10386 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72 peano2zm 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74 flge 12800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
757, 73, 74syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
7671, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
7762, 67, 10lesubaddd 10816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
7876, 77mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79 eluz2 11885 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8281recnd 10260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
8382ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84 elfzuz 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
8684, 85syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘𝑍)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
8887eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
8988rspccva 3448 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
9083, 86, 89syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91 eqvisset 3351 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
9392biimpar 503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
9591, 94csbied 3701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
9695eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
9780, 90, 96fsumm1 14679 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
98 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
99 pncan 10479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
10036, 98, 99sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101100oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102101sumeq1d 14630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103102oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10497, 103eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
105104adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10632oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107106sumeq1d 14630 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
10825csbeq1d 3681 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
109108oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
110105, 107, 1093eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵))
111110oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
112 fzfid 12966 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113 elfzuz 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
114113, 85syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
11583, 114, 89syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116112, 115fsumcl 14663 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
11740recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118117ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
120119nfel1 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
121 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
122121eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
123120, 122rspc 3443 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
1244, 118, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
125116, 51, 124addsubd 10605 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
126125adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
127111, 126eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
12859, 127oveq12d 6831 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)))
12937, 51mulcld 10252 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
130129adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
13151adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
132116, 124subcld 10584 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
133132adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
134130, 131, 133nppcan3d 10611 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
135128, 134eqtrd 2794 . . 3 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137 peano2re 10401 . . . . . 6 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
1395, 138leloed 10372 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140136, 139mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 862 . 2 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
142 ovex 6841 . . 3 (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V
143 nfcv 2902 . . . 4 𝑥𝑌
144 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥 ·
146144, 145, 46nfov 6839 . . . . 5 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
147 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥 +
148 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥
150148, 149, 119nfov 6839 . . . . 5 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
151146, 147, 150nfov 6839 . . . 4 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154152, 153oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155154, 48oveq12d 6831 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156153oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157156sumeq1d 14630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158157, 121oveq12d 6831 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
159155, 158oveq12d 6831 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
160 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 6463 . . 3 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V) → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1624, 142, 161sylancl 697 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
163129, 124, 116subadd23d 10606 . 2 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2804 1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  csb 3674  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cz 11569  cuz 11879  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  cfl 12785  Σcsu 14615   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  23989
  Copyright terms: Public domain W3C validator