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Theorem dvfsumlem3 23695
 Description: Lemma for dvfsumrlim 23698. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12177 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3614 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3581 . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3581 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
8 reflcl 12537 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
9 peano2re 10153 . . 3 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
11 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
18 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
20 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
2322adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
24 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
2726adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
28 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
29 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
31 dvfsum.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
32313adant1r 1316 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
33 dvfsum.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
346adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑆)
354adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑆)
36 dvfsumlem1.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝑋)
3736adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷𝑋)
38 dvfsumlem1.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
3938adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑌)
40 dvfsumlem1.5 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4140adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑈)
42 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 23694 . 2 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
4544sselda 3583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 reflcl 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4845, 47resubcld 10402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 23691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 10014 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) ∈ ℝ)
51 fzfid 12712 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑀...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5224ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
54 elfzuz 12280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5554, 11syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘𝑍)
5628eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
5756rspccva 3294 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
5853, 55, 57syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5951, 58fsumrecl 14398 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 ∈ ℝ)
6059, 20resubcld 10402 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ ℝ)
6150, 60readdcld 10013 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
6261, 33fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝑆⟶ℝ)
6362adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
644adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑆)
6563, 64ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ∈ ℝ)
665adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
67 reflcl 12537 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ)
707adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
726, 1syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
7318rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
74 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7672, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
7776simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
78 fllep1 12542 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 10141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
8180adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
82 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌)
8370flcld 12539 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
8483peano2zd 11429 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
85 flge 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8666, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8782, 86mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 10141 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < (⌊‘𝑌))
8973adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 12209 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9268, 88, 91mpbir2and 956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞))
9392, 1syl6eleqr 2709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ 𝑆)
9463, 93ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
956adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋𝑆)
9663, 95ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑋) ∈ ℝ)
9712adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ∈ ℤ)
9814adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ∈ ℝ)
9916adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
10020adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10122adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
10224adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10326adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
10429adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑈 ∈ ℝ*)
105313adant1r 1316 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
10636adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷𝑋)
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10898, 70, 71, 106, 107letrd 10138 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10998, 71, 68, 108, 87letrd 10138 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ (⌊‘𝑌))
110 flle 12540 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11166, 110syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11240adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑈)
113 fllep1 12542 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
11466, 113syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
115 flidm 12550 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
117116oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
118114, 117breqtrrd 4641 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1))
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 23694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∧ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
120119simpld 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
121 elioopnf 12209 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12310, 80, 122mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
124123, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
125124adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
12663, 125ffvelrnd 6316 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ∈ ℝ)
12766flcld 12539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
128 eluz2 11637 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1244 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)))
13063adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
131 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 11426 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13469adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ)
13571adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13680ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
137 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
138137adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 10141 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < 𝑚)
14073ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
141 elioopnf 12209 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
143133, 139, 142mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
144143, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚𝑆)
145130, 144ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
14697adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14798adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
14816ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
14969adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
150100adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
151101adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
152102adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
153103adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
154104adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑈 ∈ ℝ*)
1551053adant1r 1316 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
156 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
158157zred 11426 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15971adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
16080ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
161 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
162161adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 10141 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < 𝑚)
164149rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
166158, 163, 165mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
167166, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚𝑆)
168 peano2re 10153 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
170158lep1d 10899 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 10141 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < (𝑚 + 1))
172 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
174169, 171, 173mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
175174, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑆)
176108adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
177147, 159, 158, 176, 162letrd 10138 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷𝑚)
178169rexrd 10033 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ*)
17968rexrd 10033 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
180179adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
181 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
182181adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
183 1red 9999 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18466adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
186 leaddsub 10448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
187158, 183, 185, 186syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
188182, 187mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
18966rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 11937 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
191190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 11937 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑈)
193 flid 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
195194eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 = (⌊‘𝑚))
196195oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1))
197 eqle 10083 . . . . . . . . 9 (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1)) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
198169, 196, 197syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
1991, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198dvfsumlem2 23694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚) ∧ ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)))
200199simpld 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚))
201129, 145, 200monoord2 12772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
20271rexrd 10033 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ*)
203202, 179, 104, 87, 190xrletrd 11937 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑈)
20471leidd 10538 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2051, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204dvfsumlem2 23694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)))
206205simpld 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋))
20794, 126, 96, 201, 206letrd 10138 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻𝑋))
20865, 94, 96, 120, 207letrd 10138 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
20949ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
210209adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
211 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
212211nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
213 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
214213eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
215212, 214rspc 3289 . . . . . . . 8 (𝑚𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
216210, 215mpan9 486 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
217216ralrimiva 2960 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
218 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
219218eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
220219rspcv 3291 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
22195, 217, 220sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22296, 221resubcld 10402 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
223 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
224223eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
225224rspcv 3291 . . . . . 6 ((⌊‘𝑌) ∈ 𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
22693, 217, 225sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22794, 226resubcld 10402 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
228 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
229228eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
230229rspcv 3291 . . . . . 6 (𝑌𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
23164, 217, 230sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
23265, 231resubcld 10402 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
233 csbeq1 3517 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
234233eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
235234rspcv 3291 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
236125, 217, 235sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
237126, 236resubcld 10402 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
238205simprd 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
239 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
240 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑚))
241 csbeq1 3517 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
242240, 241oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑚 → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
243 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵)) = (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))
244 ovex 6632 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V
245242, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
246239, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵)
247144, 216syldan 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
248145, 247resubcld 10402 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
249246, 248syl5eqel 2702 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ∈ ℝ)
250199simprd 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
251 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (𝑚 + 1) ∈ V
252 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
253 csbeq1 3517 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
254252, 253oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑚 + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
255254, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
256251, 255ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
257250, 246, 2563brtr4g 4647 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)))
258129, 249, 257monoord 12771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)))
259 ovex 6632 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V
260 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
261 csbeq1 3517 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
262260, 261oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
263262, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
265 fvex 6158 . . . . . . 7 (⌊‘𝑌) ∈ V
266 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
267 csbeq1 3517 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
268266, 267oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
269268, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
270265, 269ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
271258, 264, 2703brtr3g 4646 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
272222, 237, 227, 238, 271letrd 10138 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
273119simprd 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
274222, 227, 232, 272, 273letrd 10138 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
275208, 274jca 554 . 2 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
2765, 10, 43, 275lecasei 10087 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186  ⦋csb 3514   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  ⌊cfl 12531  Σcsu 14350   D cdv 23533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537 This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  23696  dvfsum2  23701
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