MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem3 23695
Description: Lemma for dvfsumrlim 23698. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12177 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3614 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3581 . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3581 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
8 reflcl 12537 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
9 peano2re 10153 . . 3 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
11 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
18 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
20 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
2322adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
24 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
2726adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
28 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
29 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
31 dvfsum.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
32313adant1r 1316 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
33 dvfsum.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
346adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑆)
354adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑆)
36 dvfsumlem1.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝑋)
3736adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷𝑋)
38 dvfsumlem1.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
3938adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑌)
40 dvfsumlem1.5 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4140adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑈)
42 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 23694 . 2 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
4544sselda 3583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 reflcl 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4845, 47resubcld 10402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 23691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 10014 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) ∈ ℝ)
51 fzfid 12712 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑀...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5224ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
54 elfzuz 12280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5554, 11syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘𝑍)
5628eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
5756rspccva 3294 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
5853, 55, 57syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5951, 58fsumrecl 14398 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 ∈ ℝ)
6059, 20resubcld 10402 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ ℝ)
6150, 60readdcld 10013 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
6261, 33fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝑆⟶ℝ)
6362adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
644adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑆)
6563, 64ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ∈ ℝ)
665adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
67 reflcl 12537 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ)
707adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
726, 1syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
7318rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
74 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7672, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
7776simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
78 fllep1 12542 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 10141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
8180adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
82 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌)
8370flcld 12539 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
8483peano2zd 11429 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
85 flge 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8666, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8782, 86mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 10141 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < (⌊‘𝑌))
8973adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 12209 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9268, 88, 91mpbir2and 956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞))
9392, 1syl6eleqr 2709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ 𝑆)
9463, 93ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
956adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋𝑆)
9663, 95ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑋) ∈ ℝ)
9712adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ∈ ℤ)
9814adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ∈ ℝ)
9916adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
10020adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10122adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
10224adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10326adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
10429adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑈 ∈ ℝ*)
105313adant1r 1316 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
10636adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷𝑋)
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10898, 70, 71, 106, 107letrd 10138 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10998, 71, 68, 108, 87letrd 10138 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ (⌊‘𝑌))
110 flle 12540 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11166, 110syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11240adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑈)
113 fllep1 12542 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
11466, 113syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
115 flidm 12550 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
117116oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
118114, 117breqtrrd 4641 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1))
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 23694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∧ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
120119simpld 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
121 elioopnf 12209 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12310, 80, 122mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
124123, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
125124adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
12663, 125ffvelrnd 6316 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ∈ ℝ)
12766flcld 12539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
128 eluz2 11637 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1244 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)))
13063adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
131 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 11426 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13469adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ)
13571adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13680ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
137 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
138137adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 10141 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < 𝑚)
14073ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
141 elioopnf 12209 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
143133, 139, 142mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
144143, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚𝑆)
145130, 144ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
14697adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14798adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
14816ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
14969adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
150100adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
151101adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
152102adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
153103adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
154104adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑈 ∈ ℝ*)
1551053adant1r 1316 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
156 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
158157zred 11426 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15971adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
16080ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
161 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
162161adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 10141 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < 𝑚)
164149rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
166158, 163, 165mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
167166, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚𝑆)
168 peano2re 10153 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
170158lep1d 10899 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 10141 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < (𝑚 + 1))
172 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
174169, 171, 173mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
175174, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑆)
176108adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
177147, 159, 158, 176, 162letrd 10138 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷𝑚)
178169rexrd 10033 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ*)
17968rexrd 10033 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
180179adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
181 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
182181adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
183 1red 9999 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18466adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
186 leaddsub 10448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
187158, 183, 185, 186syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
188182, 187mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
18966rexrd 10033 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 11937 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
191190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 11937 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑈)
193 flid 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
195194eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 = (⌊‘𝑚))
196195oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1))
197 eqle 10083 . . . . . . . . 9 (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1)) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
198169, 196, 197syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
1991, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198dvfsumlem2 23694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚) ∧ ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)))
200199simpld 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚))
201129, 145, 200monoord2 12772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
20271rexrd 10033 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ*)
203202, 179, 104, 87, 190xrletrd 11937 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑈)
20471leidd 10538 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2051, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204dvfsumlem2 23694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)))
206205simpld 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋))
20794, 126, 96, 201, 206letrd 10138 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻𝑋))
20865, 94, 96, 120, 207letrd 10138 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
20949ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
210209adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
211 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
212211nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
213 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
214213eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
215212, 214rspc 3289 . . . . . . . 8 (𝑚𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
216210, 215mpan9 486 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
217216ralrimiva 2960 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
218 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
219218eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
220219rspcv 3291 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
22195, 217, 220sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22296, 221resubcld 10402 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
223 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
224223eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
225224rspcv 3291 . . . . . 6 ((⌊‘𝑌) ∈ 𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
22693, 217, 225sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22794, 226resubcld 10402 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
228 csbeq1 3517 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
229228eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
230229rspcv 3291 . . . . . 6 (𝑌𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
23164, 217, 230sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
23265, 231resubcld 10402 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
233 csbeq1 3517 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
234233eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
235234rspcv 3291 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
236125, 217, 235sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
237126, 236resubcld 10402 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
238205simprd 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
239 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
240 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑚))
241 csbeq1 3517 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
242240, 241oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑚 → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
243 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵)) = (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))
244 ovex 6632 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V
245242, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
246239, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵)
247144, 216syldan 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
248145, 247resubcld 10402 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
249246, 248syl5eqel 2702 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ∈ ℝ)
250199simprd 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
251 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (𝑚 + 1) ∈ V
252 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
253 csbeq1 3517 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
254252, 253oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑚 + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
255254, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
256251, 255ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
257250, 246, 2563brtr4g 4647 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)))
258129, 249, 257monoord 12771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)))
259 ovex 6632 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V
260 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
261 csbeq1 3517 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
262260, 261oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
263262, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
265 fvex 6158 . . . . . . 7 (⌊‘𝑌) ∈ V
266 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
267 csbeq1 3517 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
268266, 267oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
269268, 243, 244fvmpt3i 6244 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
270265, 269ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
271258, 264, 2703brtr3g 4646 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
272222, 237, 227, 238, 271letrd 10138 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
273119simprd 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
274222, 227, 232, 272, 273letrd 10138 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
275208, 274jca 554 . 2 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
2765, 10, 43, 275lecasei 10087 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  csb 3514  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  cfl 12531  Σcsu 14350   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  23696  dvfsum2  23701
  Copyright terms: Public domain W3C validator