Theorem dvfsumrlim 24622

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝐴(𝑥) = ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim

Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 12792	. . . 4 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 4000	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
5		dvfsum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		dvfsum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
9		dvfsum.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10		dvfsum.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		dvfsum.b1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dvfsum.b2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		dvfsum.b3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
14		dvfsum.c	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
15		dvfsumrlim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
16	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dvfsumrlimf 24616	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
17		ax-resscn 10588	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6521	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20	1	supeq1i 8905	. . 3 ⊢ sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21		ressxr 10679	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	21, 9	sseldi 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
23	9	renepnfd 10686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ +∞)
24		ioopnfsup 13226	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ≠ +∞) → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
25	22, 23, 24	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
26	20, 25	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27		dvfsumrlim.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
28	11, 27	rlimmptrcl 14958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
30	29, 4	rlim0 14859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
31	27, 30	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒))
32	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ℝ)
33		peano2re 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
34	9, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
35	34, 7	ifcld 4511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
36	35	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37		rexico 14707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
38	32, 36, 37	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
39		elicopnf 12827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
41	40	simprbda 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
42	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
43	42, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
44	42	ltp1d 11564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
45	40	simplbda 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)
46	7	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
47		maxle 12578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
48	46, 43, 41, 47	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
49	45, 48	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐))
50	49	simprd 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)
51	42, 43, 41, 44, 50	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < 𝑐)
52	22	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
53		elioopnf 12825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
55	41, 51, 54	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
56	55, 1	eleqtrrdi 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ 𝑆)
57	49	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑐)
58	56, 57	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
59	58	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
60		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
61	60	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
62	3, 61	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑐)
64		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑐 ≤ 𝑐
65		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥abs
66		nfcsb1v 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵
67	65, 66	nffv 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
68		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 <
69		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑒
70	67, 68, 69	nfbr 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒
71	64, 70	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)
72		breq2 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑥 ↔ 𝑐 ≤ 𝑐))
73		csbeq1a 3896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
74	73	fveq2d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
75	74	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((abs‘𝐵) < 𝑒 ↔ (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
76	72, 75	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
77	71, 76	rspc 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
78	61, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
79	63, 78	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
80	4, 10, 11, 13	dvmptrecl 24615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	80	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
82		dvfsumrlim.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
83	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27	dvfsumrlimge0 24621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
84		elrege0 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
85	81, 83, 84	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	expr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
87	86	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
88	87	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
89		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
90	89	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
91		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑐
92	66	nfel1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
93	91, 92	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
94		breq2 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑐))
95	73	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
96	94, 95	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
97	93, 96	rspc 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
98	61, 88, 90, 97	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
99		elrege0 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
100	98, 99	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
101		absid 14650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
103	102	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒))
104	6	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
105	7	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ∈ ℝ)
106	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
107	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑇 ∈ ℝ)
108	10	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
109	11	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
110	12	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
112		pnfxr 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
114		3simpa 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
115	114, 82	syl3an3 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
116	115	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
117	83	3adantr3 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
118	117	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
119		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
120		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
121	3, 21	sstri 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
122	121, 119	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
123		pnfge 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ≤ +∞)
125	1, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124	dvfsumlem4 24620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
126	19	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
127	126, 119	ffvelrnd 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
128	126, 61	ffvelrnd 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑐) ∈ ℂ)
129	127, 128	subcld 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐)) ∈ ℂ)
130	129	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ)
131	100	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
132		simprll 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
133	132	rpred 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ)
134		lelttr 10725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
135	130, 131, 133, 134	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
136	125, 135	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
137	103, 136	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
138	79, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
139	138	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
140	139	expr 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
141	140	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
142	141	ralrimdva 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
143	142, 60	jctild 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
144	143	anassrs 470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
145	59, 144	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
146	145	expimpd 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
147	146	reximdv2 3271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
148	38, 147	sylbird 262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
149	148	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
150	31, 149	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
151	4, 19, 26, 150	caucvgr 15026	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ⦋csb 3882   ⊆ wss 3935  ifcif 4466   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  dom cdm 5549  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  ...cfz 12886  ⌊cfl 13154  abscabs 14587   ⇝_𝑟 crli 14836  Σcsu 15036   D cdv 24455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  24624