Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim 23839
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝐴(𝑥) = ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12273 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3668 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
5 dvfsum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
8 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
9 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
10 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
12 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
14 dvfsum.c . . . 4 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
15 dvfsumrlim.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 23833 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
17 ax-resscn 10031 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6094 . . 3 ((𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
1916, 17, 18sylancl 695 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
201supeq1i 8394 . . 3 sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21 ressxr 10121 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
2221, 9sseldi 3634 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
239renepnfd 10128 . . . 4 (𝜑𝑇 ≠ +∞)
24 ioopnfsup 12703 . . . 4 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 ≠ +∞) → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 23, 24syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
2620, 25syl5eq 2697 . 2 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27 dvfsumrlim.k . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2811, 27rlimmptrcl 14382 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
2928ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
3029, 4rlim0 14283 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
3127, 30mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒))
323a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ℝ)
33 peano2re 10247 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
349, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
3534, 7ifcld 4164 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37 rexico 14137 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
3832, 36, 37syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
39 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
4140simprbda 652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
429adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
4342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
4442ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
4540simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)
467adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
47 maxle 12060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
4846, 43, 41, 47syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
4945, 48mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝐷𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐))
5049simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)
5142, 43, 41, 44, 50ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < 𝑐)
5222adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
53 elioopnf 12305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
5541, 51, 54mpbir2and 977 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
5655, 1syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐𝑆)
5749simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷𝑐)
5856, 57jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐𝑆𝐷𝑐))
5958adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐𝑆𝐷𝑐))
60 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → 𝑐𝑆)
6160adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐𝑆)
623, 61sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐 ∈ ℝ)
6362leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐𝑐)
64 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 𝑐𝑐
65 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥abs
66 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑐 / 𝑥𝐵
6765, 66nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(abs‘𝑐 / 𝑥𝐵)
68 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 <
69 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑒
7067, 68, 69nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒
7164, 70nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)
72 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑐 → (𝑐𝑥𝑐𝑐))
73 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑐𝐵 = 𝑐 / 𝑥𝐵)
7473fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑐 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵))
7574breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑐 → ((abs‘𝐵) < 𝑒 ↔ (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒))
7672, 75imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ (𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)))
7771, 76rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)))
7861, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)))
7963, 78mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒))
804, 10, 11, 13dvmptrecl 23832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
8180adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
82 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
831, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27dvfsumrlimge0 23838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
84 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8581, 83, 84sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8685expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8786ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
89 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → 𝐷𝑐)
9089adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝐷𝑐)
91 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 𝐷𝑐
9266nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)
9391, 92nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝐷𝑐𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
94 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑐 → (𝐷𝑥𝐷𝑐))
9573eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑐 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
9694, 95imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷𝑐𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
9793, 96rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐷𝑐𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
9861, 88, 90, 97syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
99 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵))
10098, 99sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵))
101 absid 14080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵) → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) = 𝑐 / 𝑥𝐵)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) = 𝑐 / 𝑥𝐵)
103102breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ((abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒))
1046adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1057adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1068adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10810adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10911adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
11012adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
11113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
112 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
114 3simpa 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞) → (𝐷𝑥𝑥𝑘))
115114, 82syl3an3 1401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
1161153adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
117833adantr3 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
118117adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
119 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑦𝑆)
120 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐𝑦)
1213, 21sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 ⊆ ℝ*
122121, 119sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
123 pnfge 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑦 ≤ +∞)
1251, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124dvfsumlem4 23837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵)
12619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
127126, 119ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
128126, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
129127, 128subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐)) ∈ ℂ)
130129abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ∈ ℝ)
131100simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
132 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
133132rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ)
134 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
135130, 131, 133, 134syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (((abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
136125, 135mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
137103, 136sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ((abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
13879, 137syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
139138anassrs 681 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦)) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
140139expr 642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑐𝑦 → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
141140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) ∧ 𝑦𝑆) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
142141ralrimdva 2998 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
143142, 60jctild 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
144143anassrs 681 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
14559, 144syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
146145expimpd 628 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
147146reximdv2 3043 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
14838, 147sylbird 250 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
149148ralimdva 2991 . . 3 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
15031, 149mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
1514, 19, 26, 150caucvgr 14450 1 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ⦋csb 3566   ⊆ wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ⌊cfl 12631  abscabs 14018   ⇝𝑟 crli 14260  Σcsu 14460   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  23841
 Copyright terms: Public domain W3C validator