Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim3 23700
 Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 23698 and dvfsumrlim2 23699. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim3.1 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3 (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 dvfsum.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 dvfsum.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5 dvfsum.md . . 3 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
6 dvfsum.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7 dvfsum.a . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 dvfsum.b1 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
9 dvfsum.b2 . . 3 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 dvfsum.b3 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
11 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
12 dvfsumrlim.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 23692 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
14 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
15 dvfsumrlim.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 23698 . 2 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
173adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
184adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝐷 ∈ ℝ)
195adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
206adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑇 ∈ ℝ)
217adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
228adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
239adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2410adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
25143adant1r 1316 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
2615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
27 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑋𝑆)
28 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝐷𝑋)
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 23699 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
3027adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋𝑆)
31 nfcvd 2762 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆𝑥𝐸)
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝐸)
3331, 32csbiegf 3538 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 / 𝑥𝐵 = 𝐸)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋 / 𝑥𝐵 = 𝐸)
3529, 34breqtrd 4639 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)
3635exp42 638 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝑋 → (𝑋𝑆 → (𝐺𝑟 𝐿 → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
3736com24 95 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑟 𝐿 → (𝑋𝑆 → (𝐷𝑋 → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
38373impd 1278 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))
3913, 16, 383jca 1240 1 (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⦋csb 3514   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015   ≤ cle 10019   − cmin 10210  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  ⌊cfl 12531  abscabs 13908   ⇝𝑟 crli 14150  Σcsu 14350   D cdv 23533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537 This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  24606  logdivsum  25122
 Copyright terms: Public domain W3C validator