MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlimge0 23692
Description: Lemma for dvfsumrlim 23693. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 23691. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12174 . . . . . 6 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3619 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
4 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥𝑆)
53, 4sseldi 3586 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 10034 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
75renepnfd 10035 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ≠ +∞)
8 icopnfsup 12601 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ +∞) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → sup((𝑥[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10 dvfsum.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1110rexrd 10034 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
134, 1syl6eleq 2714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞))
14 elioopnf 12206 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥)))
1613, 15mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑥))
1716simprd 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑇 < 𝑥)
18 df-ioo 12118 . . . . . 6 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
19 df-ico 12120 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
20 xrltletr 11932 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑥𝑥𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
2118, 19, 20ixxss1 12132 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 < 𝑥) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2212, 17, 21syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
2322, 1syl6sseqr 3636 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥[,)+∞) ⊆ 𝑆)
24 dvfsum.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
2524cbvmptv 4715 . . . 4 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑘𝑆𝐶)
26 dvfsumrlim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2825, 27syl5eqbrr 4654 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐶) ⇝𝑟 0)
2923, 28rlimres2 14221 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐶) ⇝𝑟 0)
303a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝑆 ⊆ ℝ)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
32 dvfsum.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 23686 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
3635adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736recnd 10013 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 rlimconst 14204 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
3930, 37, 38syl2anc 692 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘𝑆𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
4023, 39rlimres2 14221 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
4123sselda 3588 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑘𝑆)
4235ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
4424eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
4544rspccva 3299 . . . 4 ((∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑆) → 𝐶 ∈ ℝ)
4643, 45sylan 488 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝐶 ∈ ℝ)
4741, 46syldan 487 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4836adantr 481 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 simpll 789 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝜑)
50 simplrl 799 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑆)
51 simplrr 800 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐷𝑥)
52 elicopnf 12208 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
535, 52syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → (𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑘)))
5453simplbda 653 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝑥𝑘)
55 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1332 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥[,)+∞)) → 𝐶𝐵)
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 14307 1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wss 3560   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cz 11322  cuz 11631  (,)cioo 12114  [,)cico 12116  ...cfz 12265  cfl 12528  𝑟 crli 14145  Σcsu 14345   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-rlim 14149  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-rest 15999  df-topn 16000  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  23693  dvfsumrlim2  23694
  Copyright terms: Public domain W3C validator