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Theorem dvgrat 37430
Description: Ratio test for divergence of a complex infinite series. See e.g. remark "if (abs‘((𝑎‘(𝑛 + 1)) / (𝑎𝑛))) ≥ 1 for all large n..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvgrat.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
dvgrat.n (𝜑𝑁𝑍)
dvgrat.f (𝜑𝐹𝑉)
dvgrat.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
dvgrat.n0 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
dvgrat.le ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
Assertion
Ref Expression
dvgrat (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝑘,𝑍

Proof of Theorem dvgrat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvgrat.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑍)
2 dvgrat.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2602 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 11437 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 11442 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 dvgrat.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ𝑁)
86, 7syl6eleqr 2603 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑊)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑊)
10 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
1110eleq1d 2576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝑘𝑊𝑁𝑊))
1210fveq2d 5991 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
1312fveq2d 5991 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
1413breq2d 4493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑁))))
1511, 14imbi12d 332 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝑘𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (𝑁𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁)))))
16 dvgrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
177eleq2i 2584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
182uztrn2 11445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
1917, 18sylan2b 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑍𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
201, 19sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
21 dvgrat.c . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2220, 21syldan 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23 absgt0 13771 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
2516, 24mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → 0 < (abs‘(𝐹𝑘)))
2625ex 448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑘))))
271, 15, 26vtocld 3134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑊 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁))))
289, 27mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (abs‘(𝐹𝑁)))
29 0red 9796 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3010eleq1d 2576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → (𝑘𝑍𝑁𝑍))
3112eleq1d 2576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℂ))
3230, 31imbi12d 332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → ((𝑘𝑍 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝑁𝑍 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)))
3321ex 448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
341, 32, 33vtocld 3134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑍 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ))
351, 34mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
3635abscld 13882 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
3729, 36ltnled 9935 . . . . 5 (𝜑 → (0 < (abs‘(𝐹𝑁)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0))
3828, 37mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ¬ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0)
395adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4036adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
41 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
42 fvex 5997 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑁) ∈ V
437, 42eqeltri 2588 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V
4443mptex 6267 . . . . . . . 8 (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ∈ V)
4622adantlr 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
47 eqidd 2515 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) = (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))))
48 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
4948fveq2d 5991 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
5049fveq2d 5991 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
51 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → 𝑘𝑊)
52 fvex 5997 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
5447, 50, 51, 53fvmptd 6081 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
557, 41, 45, 39, 46, 54climabs 14048 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ⇝ (abs‘0))
56 abs0 13732 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
5755, 56syl6breq 4522 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖))) ⇝ 0)
5846abscld 13882 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5954, 58eqeltrd 2592 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℝ)
60 fveq2 5987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑁))
6160fveq2d 5991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
6261breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁))))
6362imbi2d 328 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁)))))
64 fveq2 5987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
6564fveq2d 5991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
6665breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))))
6766imbi2d 328 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))))
68 fveq2 5987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6968fveq2d 5991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑖)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
7069breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖)) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
7170imbi2d 328 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑖))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
7236adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
7372leidd 10343 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁)))
7473expcom 449 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑁))))
7536ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
7622adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7776abscld 13882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
787peano2uzs 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
79 ovex 6454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 + 1) ∈ V
80 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
8180anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
8268eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
8381, 82imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
84 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑊𝑖𝑊))
8584anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑊) ↔ (𝜑𝑖𝑊)))
86 fveq2 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
8786eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
8885, 87imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)))
8988, 22chvarv 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
9079, 83, 89vtocl 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9178, 90sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9392abscld 13882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
94 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
95 dvgrat.le . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9695adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9775, 77, 93, 94, 96letrd 9945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑊) ∧ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
9897ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑊) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
9917, 98sylan2br 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
10099expcom 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
101100a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
10263, 67, 71, 67, 74, 101uzind4 11486 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘))))
103102impcom 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
10417, 103sylan2b 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
105104adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
106105, 54breqtrrd 4509 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((𝑖𝑊 ↦ (abs‘(𝐹𝑖)))‘𝑘))
1077, 39, 40, 57, 59, 106climlec2 14103 . . . 4 ((𝜑𝐹 ⇝ 0) → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ 0)
10838, 107mtand 688 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ⇝ 0)
109 eluzel2 11432 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1103, 109syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
111110adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
112 dvgrat.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
113112adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
114 simpr 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11521adantlr 746 . . . 4 (((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1162, 111, 113, 114, 115serf0 14128 . . 3 ((𝜑 ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ 0)
117108, 116mtand 688 . 2 (𝜑 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
118 df-nel 2687 . 2 (seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
119117, 118sylibr 222 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wnel 2685  Vcvv 3077   class class class wbr 4481  cmpt 4541  dom cdm 4932  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   < clt 9829  cle 9830  cz 11118  cuz 11427  seqcseq 12531  abscabs 13681  cli 13929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-pm 7623  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-sup 8107  df-inf 8108  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-ico 11921  df-fz 12066  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934
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