Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh1dim 36208
Description: There exists a nonzero vector. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh1dim.o 0 = (0g𝑈)
dvh1dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvh1dim (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑧0 )
Distinct variable groups:   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh1dim
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2621 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4 dvh1dim.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
51, 2, 3, 4dvh1dimat 36207 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
6 dvh1dim.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
71, 2, 4dvhlmod 35876 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
9 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
106, 3, 8, 9lsateln0 33759 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧𝑝 𝑧0 )
11 dvh3dim.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
1211, 3, 8, 9lsatssv 33762 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑝𝑉)
1312sseld 3582 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑧𝑝𝑧𝑉))
1413anim1d 587 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑧𝑝𝑧0 ) → (𝑧𝑉𝑧0 )))
1514reximdv2 3008 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑧𝑝 𝑧0 → ∃𝑧𝑉 𝑧0 ))
1610, 15mpd 15 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧𝑉 𝑧0 )
175, 16exlimddv 1860 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑧0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSAtomsclsa 33738  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33740  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995
This theorem is referenced by:  dvh2dim  36211  hdmap14lem14  36650  hgmapval0  36661  hgmapval1  36662  hgmapadd  36663  hgmapmul  36664  hgmaprnlem5N  36669  hgmap11  36671
  Copyright terms: Public domain W3C validator