Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh2dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh2dim 36211
Description: There is a vector that is outside the span of another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh2dim (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh2dim
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 36208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑧 ≠ (0g𝑈))
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 𝑧 ≠ (0g𝑈))
8 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → 𝑋 = (0g𝑈))
98sneqd 4160 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → {𝑋} = {(0g𝑈)})
109fveq2d 6152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(0g𝑈)}))
111, 2, 5dvhlmod 35876 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 dvh3dim.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
134, 12lspsn0 18927 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
1610, 15eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)})
1716eleq2d 2684 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ {(0g𝑈)}))
18 velsn 4164 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {(0g𝑈)} ↔ 𝑧 = (0g𝑈))
1917, 18syl6bb 276 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 = (0g𝑈)))
2019necon3bbid 2827 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ≠ (0g𝑈)))
2120rexbidv 3045 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑧𝑉 𝑧 ≠ (0g𝑈)))
227, 21mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
235adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 dvh3dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2524adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋𝑉)
26 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
271, 2, 3, 12, 23, 25, 25, 4, 26, 26dvhdimlem 36210 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
28 dfsn2 4161 . . . . . . 7 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
2928fveq2i 6151 . . . . . 6 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑋})
3029eleq2i 2690 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
3130notbii 310 . . . 4 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
3231rexbii 3034 . . 3 (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
3327, 32sylibr 224 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3422, 33pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33740  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tgrp 35508  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-dveca 35768  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995  df-doch 36114  df-djh 36161
This theorem is referenced by:  dvh3dim  36212  dochsnnz  36216  hdmapevec  36604  hdmaprnlem15N  36630
  Copyright terms: Public domain W3C validator