Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh4dimN 37256
 Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh3dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvh3dim2.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 37255 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
98adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
10 eqid 2760 . . . . . . . 8 (0g𝑈) = (0g𝑈)
111, 2, 5dvhlmod 36919 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 prssi 4498 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
136, 7, 12syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
143, 10, 4, 11, 13lspun0 19233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
15 tpeq1 4421 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {(0g𝑈), 𝑌, 𝑍})
16 tprot 4428 . . . . . . . . . 10 {(0g𝑈), 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, (0g𝑈)}
17 df-tp 4326 . . . . . . . . . 10 {𝑌, 𝑍, (0g𝑈)} = ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})
1816, 17eqtr2i 2783 . . . . . . . . 9 ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {(0g𝑈), 𝑌, 𝑍}
1915, 18syl6reqr 2813 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0g𝑈) → ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
2019fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
2114, 20sylan9req 2815 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
2221eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
2322notbid 307 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
2423rexbidv 3190 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
259, 24mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
26 dvh3dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 37255 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
2827adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
29 prssi 4498 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑍𝑉) → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
3026, 7, 29syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
313, 10, 4, 11, 30lspun0 19233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
32 tpeq2 4422 . . . . . . . . 9 (𝑌 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, (0g𝑈), 𝑍})
33 df-tp 4326 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0g𝑈)} = ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})
34 tpcomb 4430 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0g𝑈)} = {𝑋, (0g𝑈), 𝑍}
3533, 34eqtr3i 2784 . . . . . . . . 9 ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, (0g𝑈), 𝑍}
3632, 35syl6reqr 2813 . . . . . . . 8 (𝑌 = (0g𝑈) → ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
3736fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑌 = (0g𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
3831, 37sylan9req 2815 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
3938eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
4039notbid 307 . . . 4 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
4140rexbidv 3190 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
4228, 41mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 37255 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4443adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
45 prssi 4498 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4626, 6, 45syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
473, 10, 4, 11, 46lspun0 19233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48 tpeq3 4423 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑌, (0g𝑈)})
49 df-tp 4326 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌, (0g𝑈)} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)})
5048, 49syl6req 2811 . . . . . . . 8 (𝑍 = (0g𝑈) → ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
5150fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑍 = (0g𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
5247, 51sylan9req 2815 . . . . . 6 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
5352eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5453notbid 307 . . . 4 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5554rexbidv 3190 . . 3 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5644, 55mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
575adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5826adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋𝑉)
596adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌𝑉)
607adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑍𝑉)
61 simpr1 1234 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
62 simpr2 1236 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g𝑈))
63 simpr3 1238 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑍 ≠ (0g𝑈))
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 37252 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 3021 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  0gc0g 16322  LSpanclspn 19193  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator