Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlmod 35879
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlmod (𝜑𝑈 ∈ LMod)

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvhlvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 35878 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
5 lveclmod 19025 . 2 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
64, 5syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  LModclmod 18784  LVecclvec 19021  HLchlt 34117  LHypclh 34750  DVecHcdvh 35847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lvec 19022  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-dvech 35848
This theorem is referenced by:  dvh0g  35880  dvhopellsm  35886  dib1dim2  35937  diclspsn  35963  cdlemn4a  35968  cdlemn5pre  35969  cdlemn11c  35978  dihjustlem  35985  dihord1  35987  dihord2a  35988  dihord2b  35989  dihord11c  35993  dihlsscpre  36003  dihvalcqat  36008  dihord6apre  36025  dihord5b  36028  dihord5apre  36031  dih0vbN  36051  dihglblem5  36067  dihjatc3  36082  dihmeetlem9N  36084  dihmeetlem13N  36088  dihmeetlem16N  36091  dihmeetlem19N  36094  dih1dimatlem  36098  dihlsprn  36100  dihlspsnat  36102  dihatlat  36103  dihatexv  36107  dihglblem6  36109  dochspss  36147  dochocsp  36148  dochspocN  36149  dochsncom  36151  dochsat  36152  dochshpncl  36153  dochlkr  36154  dochkrshp  36155  dochnoncon  36160  dochnel  36162  djhsumss  36176  djhunssN  36178  djhlsmcl  36183  dihjatcclem1  36187  dihjatcclem2  36188  dihjat  36192  dihprrnlem1N  36193  dihprrnlem2  36194  dihprrn  36195  djhlsmat  36196  dihjat1lem  36197  dihjat1  36198  dihsmsprn  36199  dihjat2  36200  dihsmatrn  36205  dvh3dimatN  36208  dvh2dimatN  36209  dvh1dim  36211  dvh4dimlem  36212  dvhdimlem  36213  dvh2dim  36214  dvh3dim  36215  dvh4dimN  36216  dvh3dim2  36217  dvh3dim3N  36218  dochsatshp  36220  dochsatshpb  36221  dochsnshp  36222  dochshpsat  36223  dochkrsat  36224  dochkrsat2  36225  dochkrsm  36227  dochexmidlem1  36229  dochexmidlem2  36230  dochexmidlem4  36232  dochexmidlem5  36233  dochexmidlem6  36234  dochexmidlem7  36235  dochexmidlem8  36236  dochexmid  36237  dochsnkrlem1  36238  dochsnkr  36241  dochsnkr2cl  36243  dochfl1  36245  dochfln0  36246  dochkr1  36247  dochkr1OLDN  36248  lcfl4N  36264  lcfl5  36265  lcfl6lem  36267  lcfl7lem  36268  lcfl6  36269  lcfl8  36271  lcfl8b  36273  lcfl9a  36274  lclkrlem1  36275  lclkrlem2a  36276  lclkrlem2b  36277  lclkrlem2c  36278  lclkrlem2e  36280  lclkrlem2f  36281  lclkrlem2h  36283  lclkrlem2j  36285  lclkrlem2k  36286  lclkrlem2o  36290  lclkrlem2p  36291  lclkrlem2r  36293  lclkrlem2s  36294  lclkrlem2u  36296  lclkrlem2v  36297  lclkrlem2  36301  lclkr  36302  lclkrslem1  36306  lclkrslem2  36307  lclkrs  36308  lcfrvalsnN  36310  lcfrlem4  36314  lcfrlem5  36315  lcfrlem6  36316  lcfrlem7  36317  lcfrlem9  36319  lcfrlem12N  36323  lcfrlem15  36326  lcfrlem16  36327  lcfrlem17  36328  lcfrlem19  36330  lcfrlem20  36331  lcfrlem21  36332  lcfrlem23  36334  lcfrlem25  36336  lcfrlem26  36337  lcfrlem28  36339  lcfrlem29  36340  lcfrlem30  36341  lcfrlem31  36342  lcfrlem33  36344  lcfrlem35  36346  lcfrlem36  36347  lcfrlem37  36348  lcfrlem40  36351  lcfrlem42  36353  lcfr  36354  lcdvbase  36362  lcdvbasecl  36365  lcdvaddval  36367  lcdsca  36368  lcdvsval  36373  lcd0v  36380  lcd0v2  36381  lcdvsubval  36387  lcdlss  36388  lcdlsp  36390  mapdval2N  36399  mapdordlem2  36406  mapdsn  36410  mapd1dim2lem1N  36413  mapdrvallem2  36414  mapdunirnN  36419  mapdcv  36429  mapdin  36431  mapdlsm  36433  mapd0  36434  mapdcnvatN  36435  mapdat  36436  mapdspex  36437  mapdn0  36438  mapdncol  36439  mapdindp  36440  mapdpglem1  36441  mapdpglem2  36442  mapdpglem2a  36443  mapdpglem3  36444  mapdpglem4N  36445  mapdpglem5N  36446  mapdpglem6  36447  mapdpglem8  36448  mapdpglem9  36449  mapdpglem12  36452  mapdpglem13  36453  mapdpglem14  36454  mapdpglem17N  36457  mapdpglem18  36458  mapdpglem19  36459  mapdpglem20  36460  mapdpglem21  36461  mapdpglem23  36463  mapdpglem30a  36464  mapdpglem30b  36465  mapdpglem29  36469  mapdpglem30  36471  mapdheq2  36498  mapdheq4lem  36500  mapdh6lem1N  36502  mapdh6lem2N  36503  mapdh6aN  36504  mapdh6b0N  36505  mapdh6bN  36506  mapdh6cN  36507  mapdh6dN  36508  mapdh6eN  36509  mapdh6gN  36511  mapdh6hN  36512  mapdh6iN  36513  mapdh8ab  36546  mapdh8ad  36548  mapdh8e  36553  mapdh9a  36559  mapdh9aOLDN  36560  hdmap1val0  36569  hdmap1l6lem1  36577  hdmap1l6lem2  36578  hdmap1l6a  36579  hdmap1l6b0N  36580  hdmap1l6b  36581  hdmap1l6c  36582  hdmap1l6d  36583  hdmap1l6e  36584  hdmap1l6g  36586  hdmap1l6h  36587  hdmap1l6i  36588  hdmap1eulem  36593  hdmap1eulemOLDN  36594  hdmap1neglem1N  36597  hdmapval0  36605  hdmapeveclem  36606  hdmapval3lemN  36609  hdmap10lem  36611  hdmap10  36612  hdmap11lem1  36613  hdmap11lem2  36614  hdmapeq0  36616  hdmapneg  36618  hdmapsub  36619  hdmap11  36620  hdmaprnlem1N  36621  hdmaprnlem3N  36622  hdmaprnlem3uN  36623  hdmaprnlem4tN  36624  hdmaprnlem4N  36625  hdmaprnlem6N  36626  hdmaprnlem8N  36628  hdmaprnlem9N  36629  hdmaprnlem3eN  36630  hdmaprnlem16N  36634  hdmaprnlem17N  36635  hdmap14lem1a  36638  hdmap14lem2a  36639  hdmap14lem2N  36641  hdmap14lem3  36642  hdmap14lem4a  36643  hdmap14lem6  36645  hdmap14lem8  36647  hdmap14lem9  36648  hdmap14lem10  36649  hdmap14lem11  36650  hdmap14lem13  36652  hgmapval0  36664  hgmapval1  36665  hgmapadd  36666  hgmapmul  36667  hgmaprnlem2N  36669  hgmaprnlem3N  36670  hgmap11  36674  hgmapeq0  36676  hdmapln1  36678  hdmaplna1  36679  hdmaplns1  36680  hdmaplnm1  36681  hdmapgln2  36684  hdmaplkr  36685  hdmapellkr  36686  hdmapip0  36687  hdmapinvlem1  36690  hdmapinvlem3  36692  hdmapinvlem4  36693  hdmapglem5  36694  hgmapvvlem1  36695  hgmapvvlem3  36697  hdmapglem7a  36699  hdmapglem7b  36700  hdmapglem7  36701  hdmapoc  36703  hlhilphllem  36731
  Copyright terms: Public domain W3C validator