Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlmod 38126
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlmod (𝜑𝑈 ∈ LMod)

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvhlvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 38125 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
5 lveclmod 19807 . 2 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
64, 5syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  LModclmod 19563  LVecclvec 19803  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lvec 19804  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dvech 38095
This theorem is referenced by:  dvh0g  38127  dvhopellsm  38133  dib1dim2  38184  diclspsn  38210  cdlemn4a  38215  cdlemn5pre  38216  cdlemn11c  38225  dihjustlem  38232  dihord1  38234  dihord2a  38235  dihord2b  38236  dihord11c  38240  dihlsscpre  38250  dihvalcqat  38255  dihord6apre  38272  dihord5b  38275  dihord5apre  38278  dih0vbN  38298  dihglblem5  38314  dihjatc3  38329  dihmeetlem9N  38331  dihmeetlem13N  38335  dihmeetlem16N  38338  dihmeetlem19N  38341  dih1dimatlem  38345  dihlsprn  38347  dihlspsnat  38349  dihatlat  38350  dihatexv  38354  dihglblem6  38356  dochspss  38394  dochocsp  38395  dochspocN  38396  dochsncom  38398  dochsat  38399  dochshpncl  38400  dochlkr  38401  dochkrshp  38402  dochnoncon  38407  dochnel  38409  djhsumss  38423  djhunssN  38425  djhlsmcl  38430  dihjatcclem1  38434  dihjatcclem2  38435  dihjat  38439  dihprrnlem1N  38440  dihprrnlem2  38441  dihprrn  38442  djhlsmat  38443  dihjat1lem  38444  dihjat1  38445  dihsmsprn  38446  dihjat2  38447  dihsmatrn  38452  dvh3dimatN  38455  dvh2dimatN  38456  dvh1dim  38458  dvh4dimlem  38459  dvhdimlem  38460  dvh2dim  38461  dvh3dim  38462  dvh4dimN  38463  dvh3dim2  38464  dvh3dim3N  38465  dochsatshp  38467  dochsatshpb  38468  dochsnshp  38469  dochshpsat  38470  dochkrsat  38471  dochkrsat2  38472  dochkrsm  38474  dochexmidlem1  38476  dochexmidlem2  38477  dochexmidlem4  38479  dochexmidlem5  38480  dochexmidlem6  38481  dochexmidlem7  38482  dochexmidlem8  38483  dochexmid  38484  dochsnkrlem1  38485  dochsnkr  38488  dochsnkr2cl  38490  dochfl1  38492  dochfln0  38493  dochkr1  38494  dochkr1OLDN  38495  lcfl4N  38511  lcfl5  38512  lcfl6lem  38514  lcfl7lem  38515  lcfl6  38516  lcfl8  38518  lcfl8b  38520  lcfl9a  38521  lclkrlem1  38522  lclkrlem2a  38523  lclkrlem2b  38524  lclkrlem2c  38525  lclkrlem2e  38527  lclkrlem2f  38528  lclkrlem2h  38530  lclkrlem2j  38532  lclkrlem2k  38533  lclkrlem2o  38537  lclkrlem2p  38538  lclkrlem2r  38540  lclkrlem2s  38541  lclkrlem2u  38543  lclkrlem2v  38544  lclkrlem2  38548  lclkr  38549  lclkrslem1  38553  lclkrslem2  38554  lclkrs  38555  lcfrvalsnN  38557  lcfrlem4  38561  lcfrlem5  38562  lcfrlem6  38563  lcfrlem7  38564  lcfrlem9  38566  lcfrlem12N  38570  lcfrlem15  38573  lcfrlem16  38574  lcfrlem17  38575  lcfrlem19  38577  lcfrlem20  38578  lcfrlem21  38579  lcfrlem23  38581  lcfrlem25  38583  lcfrlem26  38584  lcfrlem28  38586  lcfrlem29  38587  lcfrlem30  38588  lcfrlem31  38589  lcfrlem33  38591  lcfrlem35  38593  lcfrlem36  38594  lcfrlem37  38595  lcfrlem40  38598  lcfrlem42  38600  lcfr  38601  lcdvbase  38609  lcdvbasecl  38612  lcdvaddval  38614  lcdsca  38615  lcdvsval  38620  lcd0v  38627  lcd0v2  38628  lcdvsubval  38634  lcdlss  38635  lcdlsp  38637  mapdval2N  38646  mapdordlem2  38653  mapdsn  38657  mapd1dim2lem1N  38660  mapdrvallem2  38661  mapdunirnN  38666  mapdcv  38676  mapdin  38678  mapdlsm  38680  mapd0  38681  mapdcnvatN  38682  mapdat  38683  mapdspex  38684  mapdn0  38685  mapdncol  38686  mapdindp  38687  mapdpglem1  38688  mapdpglem2  38689  mapdpglem2a  38690  mapdpglem3  38691  mapdpglem4N  38692  mapdpglem5N  38693  mapdpglem6  38694  mapdpglem8  38695  mapdpglem9  38696  mapdpglem12  38699  mapdpglem13  38700  mapdpglem14  38701  mapdpglem17N  38704  mapdpglem18  38705  mapdpglem19  38706  mapdpglem20  38707  mapdpglem21  38708  mapdpglem23  38710  mapdpglem30a  38711  mapdpglem30b  38712  mapdpglem29  38716  mapdpglem30  38718  mapdheq2  38745  mapdheq4lem  38747  mapdh6lem1N  38749  mapdh6lem2N  38750  mapdh6aN  38751  mapdh6b0N  38752  mapdh6bN  38753  mapdh6cN  38754  mapdh6dN  38755  mapdh6eN  38756  mapdh6gN  38758  mapdh6hN  38759  mapdh6iN  38760  mapdh8ab  38793  mapdh8ad  38795  mapdh8e  38800  mapdh9a  38805  mapdh9aOLDN  38806  hdmap1val0  38815  hdmap1l6lem1  38823  hdmap1l6lem2  38824  hdmap1l6a  38825  hdmap1l6b0N  38826  hdmap1l6b  38827  hdmap1l6c  38828  hdmap1l6d  38829  hdmap1l6e  38830  hdmap1l6g  38832  hdmap1l6h  38833  hdmap1l6i  38834  hdmap1eulem  38838  hdmap1eulemOLDN  38839  hdmapval0  38849  hdmapeveclem  38850  hdmapval3lemN  38853  hdmap10lem  38855  hdmap10  38856  hdmap11lem1  38857  hdmap11lem2  38858  hdmapeq0  38860  hdmapneg  38862  hdmapsub  38863  hdmap11  38864  hdmaprnlem1N  38865  hdmaprnlem3N  38866  hdmaprnlem3uN  38867  hdmaprnlem4tN  38868  hdmaprnlem4N  38869  hdmaprnlem6N  38870  hdmaprnlem8N  38872  hdmaprnlem9N  38873  hdmaprnlem3eN  38874  hdmaprnlem16N  38878  hdmaprnlem17N  38879  hdmap14lem1a  38882  hdmap14lem2a  38883  hdmap14lem2N  38885  hdmap14lem3  38886  hdmap14lem4a  38887  hdmap14lem6  38889  hdmap14lem8  38891  hdmap14lem9  38892  hdmap14lem10  38893  hdmap14lem11  38894  hdmap14lem13  38896  hgmapval0  38908  hgmapval1  38909  hgmapadd  38910  hgmapmul  38911  hgmaprnlem2N  38913  hgmaprnlem3N  38914  hgmap11  38918  hgmapeq0  38920  hdmapln1  38922  hdmaplna1  38923  hdmaplns1  38924  hdmaplnm1  38925  hdmapgln2  38928  hdmaplkr  38929  hdmapellkr  38930  hdmapip0  38931  hdmapinvlem1  38934  hdmapinvlem3  38936  hdmapinvlem4  38937  hdmapglem5  38938  hgmapvvlem1  38939  hgmapvvlem3  38941  hdmapglem7a  38943  hdmapglem7b  38944  hdmapglem7  38945  hdmapoc  38947  hlhilphllem  38975
  Copyright terms: Public domain W3C validator