Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlvec 35913
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlvec (𝜑𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2621 . . 3 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2621 . . 3 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8 eqid 2621 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9 eqid 2621 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
10 eqid 2621 . . 3 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11 eqid 2621 . . 3 (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12 eqid 2621 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13 eqid 2621 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 35912 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
151, 14syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  .rcmulr 15874  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877  0gc0g 16032  invgcminusg 17355  LVecclvec 19034  HLchlt 34152  LHypclh 34785  LTrncltrn 34902  TEndoctendo 35555  DVecHcdvh 35882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-0g 16034  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-lmod 18797  df-lvec 19035  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tendo 35558  df-edring 35560  df-dvech 35883
This theorem is referenced by:  dvhlmod  35914  dih1dimatlem  36133  dihlspsnssN  36136  dihlspsnat  36137  dihpN  36140  dihlatat  36141  dochsat  36187  dochshpncl  36188  dochlkr  36189  dochkrshp  36190  dochkrshp3  36192  dvh2dimatN  36244  dvh3dim3N  36253  dochsatshp  36255  dochsatshpb  36256  dochexmidat  36263  dochexmidlem3  36266  dochsnkr  36276  dochsnkr2  36277  dochflcl  36279  dochfl1  36280  dochkr1  36282  dochkr1OLDN  36283  lcfl6lem  36302  lcfl7lem  36303  lcfl9a  36309  lclkrlem1  36310  lclkrlem2a  36311  lclkrlem2e  36315  lclkrlem2g  36317  lclkrlem2h  36318  lclkrlem2o  36325  lclkrlem2p  36326  lclkrlem2q  36327  lclkrlem2s  36329  lclkrlem2v  36332  lclkrslem1  36341  lcfrvalsnN  36345  lcfrlem16  36362  lcfrlem20  36366  lcfrlem25  36371  lcfrlem29  36375  lcfrlem31  36377  lcfrlem33  36379  lcfrlem35  36381  lcdlvec  36395  lcdlkreqN  36426  lcdlkreq2N  36427  mapdordlem2  36441  mapdsn3  36447  mapdrvallem2  36449  mapdcnvatN  36470  mapdat  36471  mapdpglem10  36485  mapdpglem15  36490  mapdpglem17N  36492  mapdpglem18  36493  mapdpglem19  36494  mapdpglem21  36496  mapdpglem22  36497  mapdheq4lem  36535  mapdheq4  36536  mapdh6lem1N  36537  mapdh6lem2N  36538  mapdh6aN  36539  mapdh6b0N  36540  mapdh6bN  36541  mapdh6cN  36542  mapdh6dN  36543  mapdh6eN  36544  mapdh6fN  36545  mapdh6hN  36547  mapdh7eN  36552  mapdh7dN  36554  mapdh7fN  36555  mapdh75fN  36559  mapdh8aa  36580  mapdh8ab  36581  mapdh8ad  36583  mapdh8b  36584  mapdh8c  36585  mapdh8d0N  36586  mapdh8d  36587  mapdh8e  36588  mapdh9a  36594  mapdh9aOLDN  36595  hdmap1eq4N  36611  hdmap1l6lem1  36612  hdmap1l6lem2  36613  hdmap1l6a  36614  hdmap1l6b0N  36615  hdmap1l6b  36616  hdmap1l6c  36617  hdmap1l6d  36618  hdmap1l6e  36619  hdmap1l6f  36620  hdmap1l6h  36622  hdmap1eulemOLDN  36629  hdmapval0  36640  hdmapval3lemN  36644  hdmap10lem  36646  hdmap11lem1  36648  hdmap11lem2  36649  hdmaprnlem4N  36660  hdmaprnlem3eN  36665  hdmap14lem1a  36673  hdmap14lem4a  36678  hdmap14lem11  36685  hgmap11  36709  hdmaplkr  36720  hdmapip1  36723  hgmapvvlem1  36730  hgmapvvlem2  36731  hgmapvvlem3  36732  hlhillvec  36758
  Copyright terms: Public domain W3C validator