Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlvec 38125
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlvec (𝜑𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2818 . . 3 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2818 . . 3 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2818 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8 eqid 2818 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9 eqid 2818 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
10 eqid 2818 . . 3 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11 eqid 2818 . . 3 (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12 eqid 2818 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13 eqid 2818 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 38124 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
151, 14syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  invgcminusg 18042  LVecclvec 19803  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  TEndoctendo 37768  DVecHcdvh 38094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lvec 19804  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dvech 38095
This theorem is referenced by:  dvhlmod  38126  dih1dimatlem  38345  dihlspsnssN  38348  dihlspsnat  38349  dihpN  38352  dihlatat  38353  dochsat  38399  dochshpncl  38400  dochlkr  38401  dochkrshp  38402  dochkrshp3  38404  dvh2dimatN  38456  dvh3dim3N  38465  dochsatshp  38467  dochsatshpb  38468  dochexmidat  38475  dochexmidlem3  38478  dochsnkr  38488  dochsnkr2  38489  dochflcl  38491  dochfl1  38492  dochkr1  38494  dochkr1OLDN  38495  lcfl6lem  38514  lcfl7lem  38515  lcfl9a  38521  lclkrlem1  38522  lclkrlem2a  38523  lclkrlem2e  38527  lclkrlem2g  38529  lclkrlem2h  38530  lclkrlem2o  38537  lclkrlem2p  38538  lclkrlem2q  38539  lclkrlem2s  38541  lclkrlem2v  38544  lclkrslem1  38553  lcfrvalsnN  38557  lcfrlem16  38574  lcfrlem20  38578  lcfrlem25  38583  lcfrlem29  38587  lcfrlem31  38589  lcfrlem33  38591  lcfrlem35  38593  lcdlvec  38607  lcdlkreqN  38638  lcdlkreq2N  38639  mapdordlem2  38653  mapdsn3  38659  mapdrvallem2  38661  mapdcnvatN  38682  mapdat  38683  mapdpglem10  38697  mapdpglem15  38702  mapdpglem17N  38704  mapdpglem18  38705  mapdpglem19  38706  mapdpglem21  38708  mapdpglem22  38709  mapdheq4lem  38747  mapdheq4  38748  mapdh6lem1N  38749  mapdh6lem2N  38750  mapdh6aN  38751  mapdh6b0N  38752  mapdh6bN  38753  mapdh6cN  38754  mapdh6dN  38755  mapdh6eN  38756  mapdh6fN  38757  mapdh6hN  38759  mapdh7eN  38764  mapdh7dN  38766  mapdh7fN  38767  mapdh75fN  38771  mapdh8aa  38792  mapdh8ab  38793  mapdh8ad  38795  mapdh8b  38796  mapdh8c  38797  mapdh8d0N  38798  mapdh8d  38799  mapdh8e  38800  mapdh9a  38805  mapdh9aOLDN  38806  hdmap1eq4N  38822  hdmap1l6lem1  38823  hdmap1l6lem2  38824  hdmap1l6a  38825  hdmap1l6b0N  38826  hdmap1l6b  38827  hdmap1l6c  38828  hdmap1l6d  38829  hdmap1l6e  38830  hdmap1l6f  38831  hdmap1l6h  38833  hdmap1eulemOLDN  38839  hdmapval0  38849  hdmapval3lemN  38853  hdmap10lem  38855  hdmap11lem1  38857  hdmap11lem2  38858  hdmaprnlem4N  38869  hdmaprnlem3eN  38874  hdmap14lem1a  38882  hdmap14lem4a  38887  hdmap14lem11  38894  hgmap11  38918  hdmaplkr  38929  hdmapip1  38932  hgmapvvlem1  38939  hgmapvvlem2  38940  hgmapvvlem3  38941  hlhillvec  38967
  Copyright terms: Public domain W3C validator