Theorem dvhopvadd 38231

Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhvadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvadd.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.f	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvadd.s	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhvadd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvhopvadd	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

Proof of Theorem dvhopvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		opelxpi 5594	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
3	2	3ad2ant2 1130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
4		opelxpi 5594	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5	4	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
6		dvhvadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dvhvadd.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhvadd.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		dvhvadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dvhvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
11		dvhvadd.s	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
12		dvhvadd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvhvadd 38230	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
14	1, 3, 5, 13	syl12anc 834	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
15		op1stg 7703	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
16	15	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
17		op1stg 7703	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
18	17	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
19	16, 18	coeq12d 5737	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
20		op2ndg 7704	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
21	20	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
22		op2ndg 7704	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
24	21, 23	oveq12d 7176	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝑄 ⨣ 𝑅))
25	19, 24	opeq12d 4813	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)
26	14, 25	eqtrd 2858	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4575   × cxp 5555   ∘ ccom 5561  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1^st c1st 7689  2^nd c2nd 7690  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570  HLchlt 36488  LHypclh 37122  LTrncltrn 37239  TEndoctendo 37890  DVecHcdvh 38216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-edring 37895  df-dvech 38217

This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  38232  dvhgrp  38245  dvh0g  38249  diblsmopel  38309  cdlemn4  38336  cdlemn6  38340  dihopelvalcpre  38386