Theorem dvidlem 24515

Description: Lemma for dvid 24517 and dvconst 24516. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidlem	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 24508	. . . 4 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4	2, 3, 2	dvbss 24501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
5		reldv 24470	. . . . . . 7 ⊢ Rel (ℂ D 𝐹)
6		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtop 23394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9		unicntop 23396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
10	9	ntrtop 21680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
12	6, 11	eleqtrrdi 2926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
13		limcresi 24485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
14		dvidlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15		ssidd 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
16		cncfmptc 23521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17	14, 15, 15, 16	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
18		eqidd 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
19	17, 6, 18	cnmptlimc 24490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
20	13, 19	sseldi 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
21		eldifsn 4721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥))
22		dvidlem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
23	22	3exp2 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 ≠ 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
24	23	imp43 430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
25	21, 24	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
26	25	mpteq2dva 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
27		difss 4110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
28		resmpt 5907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
30	26, 29	syl6eqr 2876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
31	30	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
32	20, 31	eleqtrrd 2918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
33	7	cnfldtopon 23393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
34	33	toponrestid 21531	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
35		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	3	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	34, 7, 35, 15, 36, 15	eldv 24498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
38	12, 32, 37	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
39		releldm 5816	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
40	5, 38, 39	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
41	4, 40	eqelssd 3990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
42	41	feq2d 6502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
43	1, 42	mpbii 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
44	43	ffnd 6517	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
45		fnconstg 6569	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
46	14, 45	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
47		ffun 6519	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
48	1, 47	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
49		funbrfvb 6722	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
50	48, 40, 49	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
51	38, 50	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
52	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
53		fvconst2g 6966	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
54	52, 53	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
55	51, 54	eqtr4d 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
56	44, 46, 55	eqfnfvd 6807	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  Rel wrel 5562  Fun wfun 6351   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   − cmin 10872   / cdiv 11299  TopOpenctopn 16697  ℂ_fldccnfld 20547  Topctop 21503  intcnt 21627  –cn→ccncf 23486   lim_ℂ climc 24462   D cdv 24463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  dvconst  24516  dvid  24517