MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvidlem 23602
Description: Lemma for dvid 23604 and dvconst 23603. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
dvidlem (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23595 . . . 4 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssid 3608 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
4 dvidlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
53, 4, 3dvbss 23588 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
6 reldv 23557 . . . . . . . . 9 Rel (ℂ D 𝐹)
7 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 22510 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
108cnfldtopon 22509 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110toponunii 20656 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1211ntrtop 20797 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
139, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
147, 13syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
15 limcresi 23572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
16 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
19 cncfmptc 22637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2017, 18, 18, 19syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥𝐵 = 𝐵)
2220, 7, 21cnmptlimc 23577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥))
2315, 22sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
24 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥))
25 dvidlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
26253exp2 1282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧𝑥 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵))))
2726imp43 620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2824, 27sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2928mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
30 difss 3720 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
31 resmpt 5413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
3329, 32syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
3433oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
3523, 34eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
3611restid 16026 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
379, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
3837eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
39 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
404adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4138, 8, 39, 18, 40, 18eldv 23585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
4214, 35, 41mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
43 releldm 5323 . . . . . . . . 9 ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
446, 42, 43sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
4544ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)))
4645ssrdv 3593 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
475, 46eqssd 3604 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
4847feq2d 5993 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
491, 48mpbii 223 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
50 ffn 6007 . . 3 ((ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
5149, 50syl 17 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52 fnconstg 6055 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
5316, 52mp1i 13 . 2 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
54 ffun 6010 . . . . . 6 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
551, 54mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56 funbrfvb 6200 . . . . 5 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5755, 44, 56syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5842, 57mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
5916a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
60 fvconst2g 6427 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6159, 60sylan 488 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6258, 61eqtr4d 2658 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
6351, 53, 62eqfnfvd 6275 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  cres 5081  Rel wrel 5084  Fun wfun 5846   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cmin 10218   / cdiv 10636  t crest 16013  TopOpenctopn 16014  fldccnfld 19678  Topctop 20630  intcnt 20744  cnccncf 22602   lim climc 23549   D cdv 23550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-icc 12132  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554
This theorem is referenced by:  dvconst  23603  dvid  23604
  Copyright terms: Public domain W3C validator