Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivthlem1 23682
 Description: Lemma for dvivth 23684. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
dvivth.4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvivth.5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
dvivth.6 (𝜑𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
dvivth.7 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 12180 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 dvivth.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31, 2sseldi 3582 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 dvivth.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
51, 4sseldi 3582 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
6 dvivth.5 . . . . 5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
73, 5, 6ltled 10132 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
9 cncff 22609 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
12 dvfre 23627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
1310, 1, 12sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
14 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
154, 14eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1613, 15ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
172, 14eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1813, 17ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
19 iccssre 12200 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ⊆ ℝ)
2016, 18, 19syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ⊆ ℝ)
21 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
2220, 21sseldd 3585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
2524sselda 3584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2623, 25remulcld 10017 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
2711, 26resubcld 10405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)) ∈ ℝ)
28 dvivth.7 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))
2927, 28fmptd 6343 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
30 iccssioo2 12191 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
312, 4, 30syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3229, 31fssresd 6030 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
33 ax-resscn 9940 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
35 fss 6015 . . . . . . . . 9 ((𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3629, 33, 35sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3728oveq2i 6618 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦))))
38 reelprrecn 9975 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
4011recnd 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4114feq2d 5990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4213, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4342ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
4410feqmptd 6208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦)))
4544oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))))
4642feqmptd 6208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4745, 46eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4826recnd 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℂ)
49 remulcl 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
5022, 49sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ)
5150recnd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℂ)
5222adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5334sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54 1cnd 10003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5539dvmptid 23633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5622recnd 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5739, 53, 54, 55, 56dvmptcmul 23640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 1)))
5856mulid1d 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 · 1) = 𝐶)
5958mpteq2dv 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
6057, 59eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
61 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6261tgioo2 22519 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
63 iooretop 22482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
6539, 51, 52, 60, 24, 62, 61, 64dvmptres 23639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
6639, 40, 43, 47, 48, 23, 65dvmptsub 23643 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝐶 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
6737, 66syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
6867dmeqd 5288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)))
69 dmmptg 5593 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V → dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝐴(,)𝐵))
70 ovex 6635 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) ∈ V)
7269, 71mprg 2921 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝐴(,)𝐵)
7368, 72syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
74 dvcn 23597 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7534, 36, 24, 73, 74syl31anc 1326 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
76 rescncf 22613 . . . . . . 7 ((𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)))
7731, 75, 76sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
78 cncffvrn 22614 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ))
7933, 77, 78sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ))
8032, 79mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
813, 5, 7, 80evthicc 23141 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧)))
8281simpld 475 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥))
83 fvres 6166 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
84 fvres 6166 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8583, 84breqan12rd 4632 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ (𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
8685ralbidva 2979 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
8786adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
88 ioossicc 12204 . . . . . 6 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
89 ssralv 3647 . . . . . 6 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
9187, 90syl6bi 243 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥)))
9231sselda 3584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9342ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9492, 93syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9594recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
9695adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
9756ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9867fveq1d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥))
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥))
100 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
101100oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
102 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))
103 ovex 6635 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ∈ V
104101, 102, 103fvmpt 6241 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10592, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) − 𝐶))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10699, 105eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
107106adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
10829ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1091a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
110 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
11188, 31syl5ss 3595 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
112111ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
11392adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11473ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
115113, 114eleqtrrd 2701 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
116 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
117 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑤))
118117breq1d 4625 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
119118cbvralv 3159 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
120116, 119sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
121108, 109, 110, 112, 115, 120dvferm 23662 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = 0)
122107, 121eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) = 0)
12396, 97, 122subeq0d 10347 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
124123exp32 630 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
125 vex 3189 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
126125elpr 4171 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑁))
127106adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
12829ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
130 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 = 𝑀)
131 eliooord 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝐵))
1322, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝐵))
133132simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < 𝑀)
134 ne0i 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
135 ndmioo 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
136135necon1ai 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1372, 134, 1363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
138137simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1395rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
140 elioo2 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝑁)))
141138, 139, 140syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1423, 133, 6, 141mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁))
143142ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝑁))
144130, 143eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝑁))
145137simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
146 eliooord 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑁𝑁 < 𝐵))
1474, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝑁𝑁 < 𝐵))
148147simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 < 𝐵)
149 xrltle 11929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑁 < 𝐵𝑁𝐵))
150139, 145, 149syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 < 𝐵𝑁𝐵))
151148, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁𝐵)
152 iooss2 12156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑁𝐵) → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
153145, 151, 152syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
154153ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝑁) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15592adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
15673ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
157155, 156eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
158 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
159158, 119sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
160130oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑥(,)𝑁) = (𝑀(,)𝑁))
161160raleqdv 3133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (∀𝑤 ∈ (𝑥(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
162159, 161mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑥(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
163128, 129, 144, 154, 157, 162dvferm1 23659 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ≤ 0)
164127, 163eqbrtrrd 4639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ≤ 0)
16594adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
16622ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
167165, 166suble0d 10565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶))
168164, 167mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶)
169 elicc2 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
17016, 18, 169syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑀)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
17121, 170mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
172171simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
173172ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
174130fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
175173, 174breqtrrd 4643 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
176165, 166letri3d 10126 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
177168, 175, 176mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑀 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
178177exp32 630 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
179 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 = 𝑁)
180179fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
181171simp2d 1072 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶)
182181ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐶)
183180, 182eqbrtrd 4637 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶)
18429ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1851a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
1863rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
187 elioo2 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < 𝑁𝑁 < 𝐵)))
188186, 145, 187syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < 𝑁𝑁 < 𝐵)))
1895, 6, 148, 188mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵))
190189ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑁 ∈ (𝑀(,)𝐵))
191179, 190eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝐵))
192 xrltle 11929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑀𝐴𝑀))
193138, 186, 192syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝑀𝐴𝑀))
194133, 193mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑀)
195 iooss1 12155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑀) → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
196138, 194, 195syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
197196ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
19892adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
19973ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
200198, 199eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
201 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))
202201, 119sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
203179oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (𝑀(,)𝑥) = (𝑀(,)𝑁))
204203raleqdv 3133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑥)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥)))
205202, 204mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ∀𝑤 ∈ (𝑀(,)𝑥)(𝐺𝑤) ≤ (𝐺𝑥))
206184, 185, 191, 197, 200, 205dvferm2 23661 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
207106adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
208206, 207breqtrd 4641 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 0 ≤ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶))
20994adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
21022ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
211209, 210subge0d 10564 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (0 ≤ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) − 𝐶) ↔ 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
212208, 211mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → 𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
213209, 210letri3d 10126 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶 ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 𝐶𝐶 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
214183, 212, 213mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
215214exp32 630 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
216178, 215jaod 395 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑁) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
217126, 216syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁} → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)))
218 elun 3733 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}))
219 prunioo 12246 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) = (𝑀[,]𝑁))
220186, 139, 7, 219syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) = (𝑀[,]𝑁))
221220eleq2d 2684 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀(,)𝑁) ∪ {𝑀, 𝑁}) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
222218, 221syl5bbr 274 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
223222biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∨ 𝑥 ∈ {𝑀, 𝑁}))
224124, 217, 223mpjaod 396 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀(,)𝑁)(𝐺𝑧) ≤ (𝐺𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
22591, 224syld 47 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
226225reximdva 3011 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)∀𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑧) ≤ ((𝐺 ↾ (𝑀[,]𝑁))‘𝑥) → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶))
22782, 226mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   ∪ cun 3554   ⊆ wss 3556  ∅c0 3893  {cpr 4152   class class class wbr 4615   ↦ cmpt 4675  dom cdm 5076  ran crn 5077   ↾ cres 5078  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℂcc 9881  ℝcr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888  ℝ*cxr 10020   < clt 10021   ≤ cle 10022   − cmin 10213  (,)cioo 12120  [,]cicc 12123  TopOpenctopn 16006  topGenctg 16022  ℂfldccnfld 19668  –cn→ccncf 22592   D cdv 23540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-cmp 21103  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544 This theorem is referenced by:  dvivthlem2  23683
 Copyright terms: Public domain W3C validator