MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 23674
Description: If 𝐴(𝑥), 𝐶(𝑥) are differentiable functions and 𝐴‘ ≤ 𝐶, then for 𝑥𝑦, 𝐴(𝑦) − 𝐴(𝑥) ≤ 𝐶(𝑦) − 𝐶(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvle.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
dvle.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (𝜑𝑋𝑌)
dvle.p (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
dvle.q (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
dvle.r (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
dvle.s (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2 dvle.a . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
3 cncff 22604 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
5 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
65fmpt 6337 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
74, 6sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
8 dvle.r . . . . 5 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
98eleq1d 2683 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
109rspcv 3291 . . 3 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ))
111, 7, 10sylc 65 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
12 dvle.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
13 cncff 22604 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶)
1615fmpt 6337 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1714, 16sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ)
18 dvle.s . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
1918eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
2019rspcv 3291 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ → 𝑆 ∈ ℝ))
211, 17, 20sylc 65 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
22 dvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
23 dvle.q . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
2423eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
2524rspcv 3291 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ → 𝑄 ∈ ℝ))
2622, 17, 25sylc 65 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2721, 26resubcld 10402 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
28 dvle.p . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
2928eleq1d 2683 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
3029rspcv 3291 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ))
3122, 7, 30sylc 65 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
3211recnd 10012 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
3326recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3421recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3533, 34subcld 10336 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑆) ∈ ℂ)
3632, 35addcomd 10182 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 + (𝑄𝑆)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3732, 34, 33subsub2d 10365 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑅 + (𝑄𝑆)))
3833, 34, 32subsubd 10364 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3936, 37, 383eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑄 − (𝑆𝑅)))
4021, 11resubcld 10402 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
41 dvle.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
42 dvle.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
43 eqid 2621 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4443subcn 22577 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
45 ax-resscn 9937 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
46 resubcl 10289 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
4743, 44, 12, 2, 45, 46cncfmpt2ss 22626 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
48 ioossicc 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
4948sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
5017r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5149, 50sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
52 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
5351, 52fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
54 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
55 dvfre 23620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
5653, 54, 55sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
57 dvle.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
5857dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
59 dvle.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
60 lerel 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Rel ≤
6160brrelex2i 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ V)
6362ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
64 dmmptg 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
6658, 65eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑀(,)𝑁))
6757, 66feq12d 5990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
6856, 67mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
69 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷)
7069fmpt 6337 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
7168, 70sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ ℝ)
7271r19.21bi 2927 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
737r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7449, 73sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
75 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)
7674, 75fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
77 dvfre 23620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7876, 54, 77sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
79 dvle.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
8079dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
8160brrelexi 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
8259, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
8382ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V)
84 dmmptg 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
8680, 85eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
8779, 86feq12d 5990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
8878, 87mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
89 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
9089fmpt 6337 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
9188, 90sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
9291r19.21bi 2927 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9372, 92resubcld 10402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
9472, 92subge0d 10561 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (0 ≤ (𝐷𝐵) ↔ 𝐵𝐷))
9559, 94mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 0 ≤ (𝐷𝐵))
96 elrege0 12220 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷𝐵)))
9793, 95, 96sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞))
98 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵))
9997, 98fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
10045a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
101 iccssre 12197 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
10241, 42, 101syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
10350, 73resubcld 10402 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
104103recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
10543tgioo2 22514 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
106 iccntr 22532 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
10741, 42, 106syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
108100, 102, 104, 105, 43, 107dvmptntr 23640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))))
109 reelprrecn 9972 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
11150recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11249, 111sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11373recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11449, 113sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
115110, 112, 62, 57, 114, 82, 79dvmptsub 23636 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
116108, 115eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
117116feq1d 5987 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞)))
11899, 117mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
119 dvle.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
12041, 42, 47, 118, 22, 1, 119dvge0 23673 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) ≤ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌))
12123, 28oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐴) = (𝑄𝑃))
122 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))
123 ovex 6632 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ∈ V
124121, 122, 123fvmpt3i 6244 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
12522, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
12618, 8oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶𝐴) = (𝑆𝑅))
127126, 122, 123fvmpt3i 6244 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
1281, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
129120, 125, 1283brtr3d 4644 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑃) ≤ (𝑆𝑅))
13026, 31, 40, 129subled 10574 . . 3 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) ≤ 𝑃)
13139, 130eqbrtrd 4635 . 2 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) ≤ 𝑃)
13211, 27, 31, 131subled 10574 1 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  cle 10019  cmin 10210  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  intcnt 20731  cnccncf 22587   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  dvfsumle  23688  dvfsumlem2  23694  loglesqrt  24399
  Copyright terms: Public domain W3C validator