MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlem 23859
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvlem ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4462 . 2 (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝐷𝐴𝐵))
2 dvlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐷)
53, 4ffvelrnd 6523 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 dvlem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵𝐷)
83, 7ffvelrnd 6523 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
95, 8subcld 10584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
10 dvlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1110adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
1211, 4sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1311, 7sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
15 simprr 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
1612, 13, 15subne0d 10593 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
179, 14, 16divcld 10993 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
181, 17sylan2b 493 1 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cmin 10458   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  perfdvf  23866  dvreslem  23872  dvcnp  23881  dvcnp2  23882  dvaddbr  23900  dvmulbr  23901  dvcobr  23908  dvcjbr  23911  dvcnvlem  23938  dvferm1  23947  dvferm2  23949  ftc1lem6  24003  ulmdvlem3  24355  unbdqndv1  32805  ftc1cnnc  33797  fperdvper  40636
  Copyright terms: Public domain W3C validator