MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlem 23566
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvlem ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4287 . 2 (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝐷𝐴𝐵))
2 dvlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐷)
53, 4ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 dvlem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵𝐷)
83, 7ffvelrnd 6316 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
95, 8subcld 10336 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
10 dvlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
1211, 4sseldd 3584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1311, 7sseldd 3584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10336 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
15 simprr 795 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
1612, 13, 15subne0d 10345 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
179, 14, 16divcld 10745 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
181, 17sylan2b 492 1 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cmin 10210   / cdiv 10628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629
This theorem is referenced by:  perfdvf  23573  dvreslem  23579  dvcnp  23588  dvcnp2  23589  dvaddbr  23607  dvmulbr  23608  dvcobr  23615  dvcjbr  23618  dvcnvlem  23643  dvferm1  23652  dvferm2  23654  ftc1lem6  23708  ulmdvlem3  24060  unbdqndv1  32138  ftc1cnnc  33113  fperdvper  39436
  Copyright terms: Public domain W3C validator