MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlem 24421
Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlem.1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvlem ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4711 . 2 (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝐷𝐴𝐵))
2 dvlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐷)
53, 4ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 dvlem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵𝐷)
83, 7ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
95, 8subcld 10985 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
10 dvlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
1211, 4sseldd 3965 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1311, 7sseldd 3965 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10985 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
15 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
1612, 13, 15subne0d 10994 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
179, 14, 16divcld 11404 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝐴𝐵)) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
181, 17sylan2b 593 1 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) / (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cmin 10858   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  perfdvf  24428  dvreslem  24434  dvcnp  24443  dvcnp2  24444  dvaddbr  24462  dvmulbr  24463  dvcobr  24470  dvcjbr  24473  dvcnvlem  24500  dvferm1  24509  dvferm2  24511  ftc1lem6  24565  ulmdvlem3  24917  unbdqndv1  33744  ftc1cnnc  34847  fperdvper  42079
  Copyright terms: Public domain W3C validator