MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 25162
Description: Lemma for dvlog2 25163. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2 cnxmet 23308 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 1xr 10688 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
5 blssm 22955 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
62, 3, 4, 5mp3an 1452 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
71, 6eqsstri 3998 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
87sseli 3960 . . 3 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 10630 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10 cnmet 23307 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 iocssre 12804 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3973 . . . . . . . . 9 (-∞(,]0) ⊆ ℂ
1716sseli 3960 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18 metcl 22869 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
1910, 3, 17, 18mp3an12i 1456 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20 1m0e1 11746 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
2114sseli 3960 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2212a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23 elioc2 12787 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0)))
2411, 12, 23mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0))
2524simp3bi 1139 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
2621, 22, 9, 25lesub2dd 11245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
2720, 26eqbrtrrid 5093 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2928cnmetdval 23306 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
303, 17, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31 0le1 11151 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
3321, 22, 9, 25, 32letrd 10785 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
3421, 9, 33abssubge0d 14779 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
3530, 34eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
3627, 35breqtrrd 5085 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
379, 19, 36lensymd 10779 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
382a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
394a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
403a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41 elbl2 22927 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4238, 39, 40, 17, 41syl22anc 834 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4337, 42mtbird 326 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
4443con2i 141 . . . 4 (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
4544, 1eleq2s 2928 . . 3 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
468, 45eldifd 3944 . 2 (𝑥𝑆𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
4746ssriv 3968 1 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933   class class class wbr 5057  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  (,]cioc 12727  abscabs 14581  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  ballcbl 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioc 12731  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468
This theorem is referenced by:  dvlog2  25163  logtayl  25170  logtayl2  25172  efrlim  25474  lgamcvg2  25559
  Copyright terms: Public domain W3C validator