Theorem dvlog2lem 24597

Description: Lemma for dvlog2 24598. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2lem	⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2		cnxmet 22777	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-1cn 10186	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1re 10231	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	4	rexri 10289	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		blssm 22424	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
7	2, 3, 5, 6	mp3an 1573	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
8	1, 7	eqsstri 3776	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
9	8	sseli 3740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
10		1m0e1 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
11		mnfxr 10288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		0re 10232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		iocssre 12446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	mp2an 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15	14	sseli 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
18		elioc2 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0)))
19	11, 12, 18	mp2an 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0))
20	19	simp3bi 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
21	15, 16, 17, 20	lesub2dd 10836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
22	10, 21	syl5eqbrr 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
23		ax-resscn 10185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24	14, 23	sstri 3753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℂ
25	24	sseli 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
26		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
27	26	cnmetdval 22775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
28	3, 25, 27	sylancr 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
29		0le1 10743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
31	15, 16, 17, 20, 30	letrd 10386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
32	15, 17, 31	abssubge0d 14369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
33	28, 32	eqtrd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
34	22, 33	breqtrrd 4832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
35		cnmet 22776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ))
37	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
38		metcl 22338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
39	36, 37, 25, 38	syl3anc 1477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
40		lenlt 10308	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
41	4, 39, 40	sylancr 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
42	34, 41	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
43	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
44	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
45		elbl2 22396	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
46	43, 44, 37, 25, 45	syl22anc 1478	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
47	42, 46	mtbird 314	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	47	con2i 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
49	48, 1	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
50	9, 49	eldifd 3726	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
51	50	ssriv 3748	1 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  -∞cmnf 10264  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  (,]cioc 12369  abscabs 14173  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934  ballcbl 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioc 12373  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943

This theorem is referenced by:  dvlog2  24598  logtayl  24605  logtayl2  24607  efrlim  24895  lgamcvg2  24980