MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 24597
Description: Lemma for dvlog2 24598. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2 cnxmet 22777 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-1cn 10186 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 1re 10231 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
54rexri 10289 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
6 blssm 22424 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
72, 3, 5, 6mp3an 1573 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
81, 7eqsstri 3776 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
98sseli 3740 . . 3 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℂ)
10 1m0e1 11323 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
11 mnfxr 10288 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 10232 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
13 iocssre 12446 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
1514sseli 3740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
1612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
18 elioc2 12429 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0)))
1911, 12, 18mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0))
2019simp3bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
2115, 16, 17, 20lesub2dd 10836 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
2210, 21syl5eqbrr 4840 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
23 ax-resscn 10185 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2414, 23sstri 3753 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]0) ⊆ ℂ
2524sseli 3740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
26 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2726cnmetdval 22775 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
283, 25, 27sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
29 0le1 10743 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
3115, 16, 17, 20, 30letrd 10386 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
3215, 17, 31abssubge0d 14369 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
3328, 32eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
3422, 33breqtrrd 4832 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
35 cnmet 22776 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ))
373a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
38 metcl 22338 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
3936, 37, 25, 38syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
40 lenlt 10308 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
414, 39, 40sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4234, 41mpbid 222 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
432a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
445a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
45 elbl2 22396 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4643, 44, 37, 25, 45syl22anc 1478 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4742, 46mtbird 314 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
4847con2i 134 . . . 4 (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
4948, 1eleq2s 2857 . . 3 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
509, 49eldifd 3726 . 2 (𝑥𝑆𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
5150ssriv 3748 1 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  wss 3715   class class class wbr 4804  ccom 5270  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  (,]cioc 12369  abscabs 14173  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934  ballcbl 19935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioc 12373  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943
This theorem is referenced by:  dvlog2  24598  logtayl  24605  logtayl2  24607  efrlim  24895  lgamcvg2  24980
  Copyright terms: Public domain W3C validator