Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptco 23648
 Description: Function-builder for derivative, chain rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptco.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptco.t (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptco.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑌)
dvmptco.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptco.c ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptco.d ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐷𝑊)
dvmptco.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptco.dc (𝜑 → (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = (𝑦𝑌𝐷))
dvmptco.e (𝑦 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
dvmptco.f (𝑦 = 𝐴𝐷 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dvmptco (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐸)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝑥,𝑦,𝜑   𝑦,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem dvmptco
StepHypRef Expression
1 dvmptco.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptco.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvmptco.c . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 eqid 2621 . . . 4 (𝑦𝑌𝐶) = (𝑦𝑌𝐶)
53, 4fmptd 6343 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑌𝐶):𝑌⟶ℂ)
6 dvmptco.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑌)
7 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
86, 7fmptd 6343 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑌)
9 dvmptco.dc . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = (𝑦𝑌𝐷))
109dmeqd 5288 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = dom (𝑦𝑌𝐷))
11 dvmptco.d . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐷𝑊)
1211ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 𝐷𝑊)
13 dmmptg 5593 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 𝐷𝑊 → dom (𝑦𝑌𝐷) = 𝑌)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑦𝑌𝐷) = 𝑌)
1510, 14eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = 𝑌)
16 dvmptco.da . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
1716dmeqd 5288 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
18 dvmptco.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
1918ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
20 dmmptg 5593 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
2217, 21eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
231, 2, 5, 8, 15, 22dvcof 23624 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑦𝑌𝐶) ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) ∘𝑓 · (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))))
24 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴))
25 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌𝐶) = (𝑦𝑌𝐶))
26 dvmptco.e . . . 4 (𝑦 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
276, 24, 25, 26fmptco 6354 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝑌𝐶) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐸))
2827oveq2d 6623 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑦𝑌𝐶) ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐸)))
29 ovex 6635 . . . . 5 (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∈ V
3029dmex 7049 . . . 4 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∈ V
3122, 30syl6eqelr 2707 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
321, 3, 11, 9dvmptcl 23635 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ ℂ)
33 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑌𝐷) = (𝑦𝑌𝐷)
3432, 33fmptd 6343 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑌𝐷):𝑌⟶ℂ)
359feq1d 5989 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)):𝑌⟶ℂ ↔ (𝑦𝑌𝐷):𝑌⟶ℂ))
3634, 35mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)):𝑌⟶ℂ)
37 fco 6017 . . . . . . 7 (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)):𝑌⟶ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑌) → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ)
3836, 8, 37syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ)
39 dvmptco.f . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴𝐷 = 𝐹)
406, 24, 9, 39fmptco 6354 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐹))
4140feq1d 5989 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐹):𝑋⟶ℂ))
4238, 41mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐹):𝑋⟶ℂ)
43 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝑋𝐹) = (𝑥𝑋𝐹)
4443fmpt 6339 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐹):𝑋⟶ℂ)
4542, 44sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ℂ)
4645r19.21bi 2927 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
4731, 46, 18, 40, 16offval2 6870 . 2 (𝜑 → (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) ∘𝑓 · (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
4823, 28, 473eqtr3d 2663 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐸)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186  {cpr 4152   ↦ cmpt 4675  dom cdm 5076   ∘ ccom 5080  ⟶wf 5845  (class class class)co 6607   ∘𝑓 cof 6851  ℂcc 9881  ℝcr 9882   · cmul 9888   D cdv 23540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544 This theorem is referenced by:  dvexp3  23652  dvsincos  23655  dvlipcn  23668  lhop2  23689  itgsubstlem  23722  dvtaylp  24035  taylthlem2  24039  pige3  24180  advlogexp  24308  logtayl  24313  dvcxp1  24388  dvcxp2  24389  dvcncxp1  24391  loglesqrt  24406  dvatan  24569  lgamgulmlem2  24663  logdivsum  25129  log2sumbnd  25140  itgexpif  30463  dvtan  33113  dvasin  33149  areacirclem1  33153  expgrowthi  38035  expgrowth  38037  binomcxplemdvbinom  38055  dvsinexp  39446  dvrecg  39448  dvxpaek  39478  fourierdlem28  39675  fourierdlem39  39686  fourierdlem56  39702  fourierdlem60  39706  fourierdlem61  39707  etransclem46  39820
 Copyright terms: Public domain W3C validator