MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptntr 23640
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptntr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvmptntr.x (𝜑𝑋𝑆)
dvmptntr.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptntr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptntr.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvmptntr (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptntr
StepHypRef Expression
1 dvmptntr.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
2 dvmptntr.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22496 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 dvmptntr.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 resttopon 20875 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
71, 6syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
8 topontop 20641 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
10 dvmptntr.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑆)
11 toponuni 20642 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝐽)
1310, 12sseqtrd 3620 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 𝐽)
14 eqid 2621 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1514ntridm 20782 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
169, 13, 15syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
17 dvmptntr.i . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
1817fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
1916, 18eqtr3d 2657 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
2019reseq2d 5356 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
21 dvmptntr.a . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
2321, 22fmptd 6340 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
242, 1dvres 23581 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑋𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
254, 23, 10, 10, 24syl22anc 1324 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
2614ntrss2 20771 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
279, 13, 26syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2817, 27eqsstr3d 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
2928, 10sstrd 3593 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑆)
302, 1dvres 23581 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
314, 23, 10, 29, 30syl22anc 1324 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
3220, 25, 313eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)))
33 ssid 3603 . . . . 5 𝑋𝑋
34 resmpt 5408 . . . . 5 (𝑋𝑋 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
3635oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3732, 36eqtr3d 2657 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
3828resmptd 5411 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
3938oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
4037, 39eqtr3d 2657 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555   cuni 4402  cmpt 4673  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  fldccnfld 19665  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  intcnt 20731   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-cnp 20942  df-xms 22035  df-ms 22036  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  rolle  23657  cmvth  23658  dvlip  23660  dvlipcn  23661  dvle  23674  dvfsumabs  23690  ftc2  23711  itgparts  23714  itgsubstlem  23715  lgamgulmlem2  24656  ftc2nc  33123  areacirc  33134  itgsin0pilem1  39469  itgsbtaddcnst  39502
  Copyright terms: Public domain W3C validator