Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptresicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptresicc 39437
Description: Derivative of a function restricted to a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptresicc.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
dvmptresicc.a ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptresicc.fdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptresicc.b ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvmptresicc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
dvmptresicc.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dvmptresicc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvmptresicc
StepHypRef Expression
1 dvmptresicc.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
21reseq1i 5352 . . . 4 (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (𝐶[,]𝐷))
3 dvmptresicc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 dvmptresicc.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
53, 4iccssred 39135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 9937 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7sstrd 3593 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
98resmptd 5411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴))
102, 9syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴))
1110oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)))
125resabs1d 5387 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))
1312eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷)))
1413oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))))
15 dvmptresicc.a . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615, 1fmptd 6340 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1716, 7fssresd 6028 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
18 ssid 3603 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
20 eqid 2621 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120tgioo2 22514 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2220, 21dvres 23581 . . . 4 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
237, 17, 19, 5, 22syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
24 reelprrecn 9972 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
26 ssid 3603 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
28 dvmptresicc.fdv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
2928dmeqd 5286 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
30 dvmptresicc.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ 𝐵 ∈ ℂ)
32 dmmptg 5591 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℂ 𝐵 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) = ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) = ℂ)
3429, 33eqtr2d 2656 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D 𝐹))
357, 34sseqtrd 3620 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
36 dvres3 23583 . . . . . 6 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
3725, 16, 27, 35, 36syl22anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
38 iccntr 22532 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
393, 4, 38syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4037, 39reseq12d 5357 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
41 ioossre 12177 . . . . 5 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
42 resabs1 5386 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ → (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4341, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4428reseq1d 5355 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
45 ioosscn 39124 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℂ
46 resmpt 5408 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4745, 46mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4844, 47eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4940, 43, 483eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
5014, 23, 493eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
5111, 50eqtr3d 2657 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555  {cpr 4150  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  intcnt 20731   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  itgsincmulx  39494
  Copyright terms: Public domain W3C validator