MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmulf 23607
Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvmulf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Proof of Theorem dvmulf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvaddf.df . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 23567 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
53, 4syl6eqssr 3640 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
7 dvaddf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
9 dvaddf.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
113eleq2d 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
1211biimpar 502 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413eleq2d 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
1514biimpar 502 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
162, 6, 8, 6, 10, 12, 15dvmul 23605 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
1716mpteq2dva 4709 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))))
18 dvfg 23571 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
20 recnprss 23569 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
22 mulcl 9965 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
249, 5ssexd 4770 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ V)
25 inidm 3805 . . . . . . . 8 (𝑋𝑋) = 𝑋
2623, 1, 7, 24, 24, 25off 6866 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2721, 26, 5dvbss 23566 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
2821adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
31 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
33 dvfg 23571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
349, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
36 ffun 6007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
37 funfvbrb 6287 . . . . . . . . . . . 12 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3912, 38mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
40 dvfg 23571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
419, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
43 ffun 6007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
44 funfvbrb 6287 . . . . . . . . . . . 12 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4615, 45mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
47 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
482, 6, 8, 6, 28, 30, 32, 39, 46, 47dvmulbr 23603 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
49 reldv 23535 . . . . . . . . . 10 Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))
5049releldmi 5326 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5148, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5251ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))))
5352ssrdv 3594 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5427, 53eqssd 3605 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = 𝑋)
5554feq2d 5990 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5619, 55mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
5756feqmptd 6207 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥)))
58 ovex 6633 . . . 4 (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ V
5958a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ V)
60 ovex 6633 . . . 4 (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ V
6160a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ V)
62 fvex 6160 . . . . 5 (𝐺𝑥) ∈ V
6362a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ V)
643feq2d 5990 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
6534, 64mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6665feqmptd 6207 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
677feqmptd 6207 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
6824, 30, 63, 66, 67offval2 6868 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥))))
69 fvex 6160 . . . . 5 (𝐹𝑥) ∈ V
7069a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ V)
7113feq2d 5990 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
7241, 71mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
7372feqmptd 6207 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
741feqmptd 6207 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
7524, 32, 70, 73, 74offval2 6868 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
7624, 59, 61, 68, 75offval2 6868 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑥𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))))
7717, 57, 763eqtr4d 2670 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  wss 3560  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  Fun wfun 5844  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑓 cof 6849  cc 9879  cr 9880   + caddc 9884   · cmul 9886  TopOpenctopn 15998  fldccnfld 19660   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  dvcmulf  23609  dvexp  23617  dvmptmul  23625  expgrowth  38002  binomcxplemnotnn0  38023  dvmulcncf  39433
  Copyright terms: Public domain W3C validator