Theorem dvmulf 24534

Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)))

Proof of Theorem dvmulf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvaddf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvaddf.df	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4		dvbsss 24494	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
5	3, 4	eqsstrrdi 4021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvaddf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
8	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
9		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10	9	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11	3	eleq2d 2898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
12	11	biimpar 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13		dvaddf.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
14	13	eleq2d 2898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
15	14	biimpar 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
16	2, 6, 8, 6, 10, 12, 15	dvmul 24532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
17	16	mpteq2dva 5153	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
18		dvfg 24498	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))⟶ℂ)
19	9, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))⟶ℂ)
20		recnprss 24496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	9, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		mulcl 10615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	9, 5	ssexd 5220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
25		inidm 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
26	23, 1, 7, 24, 24, 25	off 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
27	21, 26, 5	dvbss 24493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
28	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29		fvexd 6679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
30		fvexd 6679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
31		dvfg 24498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
32	9, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
34		ffun 6511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
35		funfvbrb 6815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
36	33, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
37	12, 36	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
38		dvfg 24498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
39	9, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
40	39	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
41		ffun 6511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
42		funfvbrb 6815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
44	15, 43	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
45		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
46	2, 6, 8, 6, 28, 29, 30, 37, 44, 45	dvmulbr 24530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
47		reldv 24462	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))
48	47	releldmi 5812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)))
49	46, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)))
50	27, 49	eqelssd 3987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = 𝑋)
51	50	feq2d 6494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
52	19, 51	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
53	52	feqmptd 6727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑥)))
54		ovexd 7185	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
55		ovexd 7185	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
56		fvexd 6679	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
57	3	feq2d 6494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
58	32, 57	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
59	58	feqmptd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
60	7	feqmptd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
61	24, 29, 56, 59, 60	offval2 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
62		fvexd 6679	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
63	13	feq2d 6494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
64	39, 63	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
65	64	feqmptd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
66	1	feqmptd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
67	24, 30, 62, 65, 66	offval2 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
68	24, 54, 55, 61, 67	offval2 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
69	17, 53, 68	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  {cpr 4562   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  dom cdm 5549  Fun wfun 6343  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401  ℂcc 10529  ℝcr 10530   + caddc 10534   · cmul 10536  TopOpenctopn 16689  ℂ_fldccnfld 20539   D cdv 24455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459

This theorem is referenced by:  dvcmulf  24536  dvexp  24544  dvmptmul  24552  expgrowth  40660  binomcxplemnotnn0  40681  dvmulcncf  42203