MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnfre 23466
Description: The 𝑁-th derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvnfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvnfre
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0))
21dmeqd 5235 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0))
31, 2feq12d 5932 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ))
43imbi2d 328 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ)))
5 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))
65dmeqd 5235 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))
75, 6feq12d 5932 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ))
87imbi2d 328 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)))
9 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
109dmeqd 5235 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
119, 10feq12d 5932 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ))
1211imbi2d 328 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
13 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1413dmeqd 5235 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1513, 14feq12d 5932 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
1615imbi2d 328 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)))
17 simpl 471 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 ax-resscn 9850 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
19 fss 5955 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2018, 19mpan2 702 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21 cnex 9874 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
22 reex 9884 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 elpm2r 7739 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2421, 22, 23mpanl12 713 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2520, 24sylan 486 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
26 dvn0 23438 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2718, 25, 26sylancr 693 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2827dmeqd 5235 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
29 fdm 5950 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
3128, 30eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
3227, 31feq12d 5932 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℝ))
3317, 32mpbird 245 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ)
34 simprr 791 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)
3522prid1 4240 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3725adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
38 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39 dvnbss 23442 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
4130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4240, 41sseqtrd 3603 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
43 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4442, 43sstrd 3577 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ ℝ)
45 dvfre 23465 . . . . . . . . 9 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ ∧ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ ℝ) → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ)
4634, 44, 45syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ)
4718a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ℝ ⊆ ℂ)
48 dvnp1 23439 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
4947, 37, 38, 48syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
5049dmeqd 5235 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
5149, 50feq12d 5932 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ ↔ (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ))
5246, 51mpbird 245 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)
5352expr 640 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ))
5453expcom 449 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
5554a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ) → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
564, 8, 12, 16, 33, 55nn0ind 11307 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
5756com12 32 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
58573impia 1252 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  {cpr 4126  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  pm cpm 7723  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  0cn0 11142   D cdv 23378   D𝑛 cdvn 23379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-icc 12012  df-fz 12156  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-rest 15855  df-topn 15856  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-dvn 23383
This theorem is referenced by:  taylthlem2  23877
  Copyright terms: Public domain W3C validator