Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnfre 23760
 Description: The 𝑁-th derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvnfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvnfre
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0))
21dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0))
31, 2feq12d 6071 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ))
43imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ)))
5 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))
65dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))
75, 6feq12d 6071 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ))
87imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)))
9 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
109dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
119, 10feq12d 6071 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ))
1211imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
13 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1413dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1513, 14feq12d 6071 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
1615imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)))
17 simpl 472 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
19 fss 6094 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2018, 19mpan2 707 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21 cnex 10055 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
22 reex 10065 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 elpm2r 7917 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2421, 22, 23mpanl12 718 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2520, 24sylan 487 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
26 dvn0 23732 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2718, 25, 26sylancr 696 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2827dmeqd 5358 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
29 fdm 6089 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
3128, 30eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
3227, 31feq12d 6071 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℝ))
3317, 32mpbird 247 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ)
34 simprr 811 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)
3522prid1 4329 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3725adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
38 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39 dvnbss 23736 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
4130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4240, 41sseqtrd 3674 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
43 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4442, 43sstrd 3646 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ ℝ)
45 dvfre 23759 . . . . . . . . 9 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ ∧ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ ℝ) → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ)
4634, 44, 45syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ)
4718a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ℝ ⊆ ℂ)
48 dvnp1 23733 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
4947, 37, 38, 48syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
5049dmeqd 5358 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
5149, 50feq12d 6071 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ ↔ (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ))
5246, 51mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)
5352expr 642 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ))
5453expcom 450 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
5554a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ) → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
564, 8, 12, 16, 33, 55nn0ind 11510 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
5756com12 32 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
58573impia 1280 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {cpr 4212  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑pm cpm 7900  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℕ0cn0 11330   D cdv 23672   D𝑛 cdvn 23673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677 This theorem is referenced by:  taylthlem2  24173
 Copyright terms: Public domain W3C validator