Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprod 39470
Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnprod.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnprod.t (𝜑𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvnprod.dvnh ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
dvnprod.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
dvnprod (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝐻,𝑛,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑘,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑟 𝑑 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvnprod.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 dvnprod.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprod.h . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
5 dvnprod.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 dvnprod.dvnh . . 3 ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
7 dvnprod.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
8 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (𝑑𝑢) = (𝑑𝑡))
98cbvsumv 14360 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡)
109eqeq1i 2626 . . . . . . . . . 10 𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) → (Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚))
1211rabbiia 3173 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚}
13 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑡) = (𝑒𝑡))
1413sumeq2ad 39201 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡))
1514eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚))
1615cbvrabv 3185 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1712, 16eqtri 2643 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1817mpteq2i 4701 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚})
19 eqeq2 2632 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛))
2019rabbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
21 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
2221oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟))
23 rabeq 3179 . . . . . . . . 9 (((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2520, 24eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2625cbvmptv 4710 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2718, 26eqtri 2643 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2827mpteq2i 4701 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
29 sumeq1 14353 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑠 → Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛))
3130rabbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
32 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠))
33 rabeq 3179 . . . . . . . 8 (((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3531, 34eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3635mpteq2dv 4705 . . . . 5 (𝑟 = 𝑠 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3736cbvmptv 4710 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3828, 37eqtri 2643 . . 3 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
39 dvnprod.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
40 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐𝑡) = (𝑒𝑡))
4140sumeq2ad 39201 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 → Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡))
4241eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛))
4342cbvrabv 3185 . . . . 5 {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛}
4443mpteq2i 4701 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
4539, 44eqtri 2643 . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 45dvnprodlem3 39469 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))))
47 fveq1 6147 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒𝑡) = (𝑐𝑡))
4847fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → (!‘(𝑒𝑡)) = (!‘(𝑐𝑡)))
4948prodeq2ad 39228 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡)) = ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡)))
5049oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))))
5147fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡)) = ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡)))
5251fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5352prodeq2ad 39228 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5450, 53oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5554cbvsumv 14360 . . . . 5 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
56 eqid 2621 . . . . 5 Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5755, 56eqtri 2643 . . . 4 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5857mpteq2i 4701 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5958a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
6046, 59eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  𝒫 cpw 4130  {cpr 4150  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885   / cdiv 10628  0cn0 11236  ...cfz 12268  !cfa 13000  Σcsu 14350  cprod 14560  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  fldccnfld 19665   D𝑛 cdvn 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-prod 14561  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-dvn 23538
This theorem is referenced by:  etransclem29  39787
  Copyright terms: Public domain W3C validator