MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvntaylp0 23844
Description: The first 𝑁 derivatives of the Taylor polynomial at 𝐵 match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp0.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp0.a (𝜑𝐴𝑆)
dvntaylp0.m (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
dvntaylp0.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
dvntaylp0.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
2 elfz3nn0 12255 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11197 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 elfznn0 12254 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11197 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
84, 7npcand 10244 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
98oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
119, 10syl6eqr 2658 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
1211oveq2d 6540 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
1312fveq1d 6087 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀))
14 dvntaylp0.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15 dvntaylp0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
16 dvntaylp0.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
17 fznn0sub 12196 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19 dvntaylp0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
208fveq2d 6089 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2120dmeqd 5232 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2219, 21eleqtrrd 2687 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 23843 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2413, 23eqtr3d 2642 . . 3 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2524fveq1d 6087 . 2 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵))
26 cnex 9870 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
28 elpm2r 7735 . . . . . 6 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
30 dvnf 23410 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
3114, 29, 6, 30syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
32 dvnbss 23411 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
3314, 29, 6, 32syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
34 fdm 5947 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3633, 35sseqtrd 3600 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝐴)
3736, 16sstrd 3574 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)
3818orcd 405 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (𝑁𝑀) = +∞))
39 dvnadd 23412 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
417, 4pncan3d 10243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
4241fveq2d 6089 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4340, 42eqtrd 2640 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4443dmeqd 5232 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4519, 44eleqtrrd 2687 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)))
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 23835 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁𝑀)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
47 eqid 2606 . . . 4 ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 23834 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) ∧ (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵)))
4948simprd 477 . 2 (𝜑 → (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
5025, 49eqtrd 2640 1 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  wss 3536  {cpr 4123  dom cdm 5025  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789   + caddc 9792  +∞cpnf 9924  cmin 10114  0cn0 11136  ...cfz 12149   D𝑛 cdvn 23348   Tayl ctayl 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-sum 14208  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-cring 18316  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-tsms 21679  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-dvn 23352  df-tayl 23827
This theorem is referenced by:  taylthlem1  23845  taylthlem2  23846
  Copyright terms: Public domain W3C validator