Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan3 18738
 Description: A cancellation law for division. (divcan3 10749 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d / = (/r𝑅)
dvrass.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan3
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1082 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
3 dvrass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 dvrass.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 18705 . . . 4 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
653ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝐵)
7 simp3 1083 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
8 dvrass.d . . . 4 / = (/r𝑅)
9 dvrass.t . . . 4 · = (.r𝑅)
103, 4, 8, 9dvrass 18736 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)))
111, 2, 6, 7, 10syl13anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)))
12 eqid 2651 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
134, 8, 12dvrid 18734 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = (1r𝑅))
14133adant2 1100 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = (1r𝑅))
1514oveq2d 6706 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)) = (𝑋 · (1r𝑅)))
163, 9, 12ringridm 18618 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
17163adant3 1101 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
1811, 15, 173eqtrd 2689 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  1rcur 18547  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  /rcdvr 18728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729 This theorem is referenced by:  irredrmul  18753  cramerimp  20540  lgseisenlem3  25147  orngrmullt  29936
 Copyright terms: Public domain W3C validator