Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan5 29575
Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 10671 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d / = (/r𝑅)
dvrcan5.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 18581 . . . . . 6 𝑈𝐵
4 simpr3 1067 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
53, 4sseldi 3581 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝐵)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
72, 6unitmulcl 18585 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
873adant3r1 1271 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/r𝑅)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 18606 . . . . 5 ((𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 692 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
152, 14unitgrp 18588 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17 simpr2 1066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑌𝑈)
182, 14unitgrpbas 18587 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) ∈ V
202, 19eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
21 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2221, 6mgpplusg 18414 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2314, 22ressplusg 15914 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2420, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
252, 14, 9invrfval 18594 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2618, 24, 25grpinvadd 17414 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2726oveq2d 6620 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2816, 17, 4, 27syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
29 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
302, 9, 6, 29unitrinv 18599 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) = (1r𝑅))
3130oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
32313ad2antr3 1226 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
332, 9unitinvcl 18595 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34333ad2antr3 1226 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
353, 34sseldi 3581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
362, 9unitinvcl 18595 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37363ad2antr2 1225 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
383, 37sseldi 3581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
391, 6ringass 18485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
4013, 5, 35, 38, 39syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
411, 6, 29ringlidm 18492 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4213, 38, 41syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4332, 40, 423eqtr3d 2663 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4412, 28, 433eqtrd 2659 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4544oveq2d 6620 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
46 simpr1 1065 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
471, 2, 10, 6dvrass 18611 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
4813, 46, 5, 8, 47syl13anc 1325 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
491, 6, 2, 9, 10dvrval 18606 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5046, 17, 49syl2anc 692 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5145, 48, 503eqtr4d 2665 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  s cress 15782  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Grpcgrp 17343  mulGrpcmgp 18410  1rcur 18422  Ringcrg 18468  Unitcui 18560  invrcinvr 18592  /rcdvr 18603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604
This theorem is referenced by:  rhmdvd  29603
  Copyright terms: Public domain W3C validator