Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrcan5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan5 30073
 Description: Cancellation law for common factor in ratio. (divcan5 10890 analog.) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcan5.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcan5.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcan5.d / = (/r𝑅)
dvrcan5.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem dvrcan5
StepHypRef Expression
1 dvrcan5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrcan5.o . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 18831 . . . . . 6 𝑈𝐵
4 simpr3 1214 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
53, 4sseldi 3730 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑍𝐵)
6 dvrcan5.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
72, 6unitmulcl 18835 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
873adant3r1 1174 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)
9 eqid 2748 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
10 dvrcan5.d . . . . . 6 / = (/r𝑅)
111, 6, 2, 9, 10dvrval 18856 . . . . 5 ((𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
125, 8, 11syl2anc 696 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
13 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2748 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
152, 14unitgrp 18838 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
17 simpr2 1212 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑌𝑈)
182, 14unitgrpbas 18837 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
19 fvex 6350 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) ∈ V
202, 19eqeltri 2823 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
21 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2221, 6mgpplusg 18664 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2314, 22ressplusg 16166 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2420, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
252, 14, 9invrfval 18844 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2618, 24, 25grpinvadd 17665 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)) = (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2726oveq2d 6817 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2816, 17, 4, 27syl3anc 1463 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
29 eqid 2748 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
302, 9, 6, 29unitrinv 18849 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) = (1r𝑅))
3130oveq1d 6816 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
32313ad2antr3 1182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
332, 9unitinvcl 18845 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
34333ad2antr3 1182 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
353, 34sseldi 3730 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
362, 9unitinvcl 18845 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
37363ad2antr2 1181 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
383, 37sseldi 3730 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
391, 6ringass 18735 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
4013, 5, 35, 38, 39syl13anc 1465 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑍)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
411, 6, 29ringlidm 18742 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4213, 38, 41syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((1r𝑅) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4332, 40, 423eqtr3d 2790 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 · (((invr𝑅)‘𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4412, 28, 433eqtrd 2786 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑍 / (𝑌 · 𝑍)) = ((invr𝑅)‘𝑌))
4544oveq2d 6817 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
46 simpr1 1210 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
471, 2, 10, 6dvrass 18861 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
4813, 46, 5, 8, 47syl13anc 1465 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 / (𝑌 · 𝑍))))
491, 6, 2, 9, 10dvrval 18856 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5046, 17, 49syl2anc 696 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5145, 48, 503eqtr4d 2792 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈𝑍𝑈)) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋 / 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  Vcvv 3328  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030   ↾s cress 16031  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  Grpcgrp 17594  mulGrpcmgp 18660  1rcur 18672  Ringcrg 18718  Unitcui 18810  invrcinvr 18842  /rcdvr 18853 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854 This theorem is referenced by:  rhmdvd  30101
 Copyright terms: Public domain W3C validator