MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcn 21927
Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d / = (/r𝑅)
dvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcn (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 dvrcn.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2621 . . 3 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrcn.d . . 3 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 18624 . 2 / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑦)))
7 dvrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8 tdrgtrg 21916 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9 tdrgtps 21920 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
101, 7istps 20678 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
119, 10sylib 208 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
121, 3unitss 18600 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13 resttopon 20905 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
1411, 12, 13sylancl 693 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
1511, 14cnmpt1st 21411 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
1611, 14cnmpt2nd 21412 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn (𝐽t 𝑈)))
177, 4, 3invrcn 21924 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → (invr𝑅) ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn 𝐽))
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 21415 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ ((invr𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 21926 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
206, 19syl5eqel 2702 1 (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  Basecbs 15800  .rcmulr 15882  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  Unitcui 18579  invrcinvr 18611  /rcdvr 18622  TopOnctopon 20655  TopSpctps 20676   Cn ccn 20968   ×t ctx 21303  TopDRingctdrg 21900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-tset 15900  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-plusf 17181  df-minusg 17366  df-mgp 18430  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-tx 21305  df-tmd 21816  df-tgp 21817  df-trg 21903  df-tdrg 21904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator