Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrdir 29572
Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1065 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
3 simpr2 1066 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑌𝐵)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 dvrdir.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
64, 5unitss 18581 . . . 4 𝑈𝐵
7 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
95, 8unitinvcl 18595 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
107, 9syldan 487 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
116, 10sseldi 3581 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12 dvrdir.p . . . 4 + = (+g𝑅)
13 eqid 2621 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
144, 12, 13ringdir 18488 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
151, 2, 3, 11, 14syl13anc 1325 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
16 ringgrp 18473 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1716adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
184, 12grpcl 17351 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1917, 2, 3, 18syl3anc 1323 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20 dvrdir.t . . . 4 / = (/r𝑅)
214, 13, 5, 8, 20dvrval 18606 . . 3 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
2219, 7, 21syl2anc 692 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
234, 13, 5, 8, 20dvrval 18606 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑍𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
242, 7, 23syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
254, 13, 5, 8, 20dvrval 18606 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
263, 7, 25syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
2724, 26oveq12d 6622 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
2815, 22, 273eqtr4d 2665 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Grpcgrp 17343  Ringcrg 18468  Unitcui 18560  invrcinvr 18592  /rcdvr 18603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604
This theorem is referenced by:  qqhghm  29811  qqhrhm  29812
  Copyright terms: Public domain W3C validator