MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres2 23577
Description: Restriction of the base set of a derivative. The primary application of this theorem says that if a function is complex differentiable then it is also real differentiable. Unlike dvres 23576, there is no simple reverse relation relating real differentiable functions to complex differentiability, and indeed there are functions like ℜ(𝑥) which are everywhere real-differentiable but nowhere complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvres2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem dvres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5389 . . 3 Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)
21a1i 11 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
3 eqid 2626 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2626 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
5 eqid 2626 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6 simp1l 1083 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7 simp1r 1084 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8 simp2l 1085 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝐴𝑆)
9 simp2r 1086 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝐵𝑆)
10 simp3l 1087 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
116, 7, 8dvcl 23564 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1210, 11mpdan 701 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 simp3r 1088 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
143, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 10, 13dvres2lem 23575 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵)) → 𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
15143expia 1264 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵) → 𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦))
16 vex 3194 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1716brres 5366 . . . 4 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵))
18 df-br 4619 . . . 4 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
1917, 18bitr3i 266 . . 3 ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
20 df-br 4619 . . 3 (𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹𝐵)))
2115, 19, 203imtr3g 284 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹𝐵))))
222, 21relssdv 5178 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1992  cdif 3557  wss 3560  {csn 4153  cop 4159   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cres 5081  Rel wrel 5084  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cmin 10211   / cdiv 10629  t crest 15997  TopOpenctopn 15998  fldccnfld 19660   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-rest 15999  df-topn 16000  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-cnp 20937  df-xms 22030  df-ms 22031  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  dvres3  23578  dvres3a  23579
  Copyright terms: Public domain W3C validator