Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres2lem 23719
 Description: Lemma for dvres2 23721. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
dvres.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a (𝜑𝐴𝑆)
dvres.b (𝜑𝐵𝑆)
dvres.y (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d (𝜑𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x (𝜑𝑥𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvres2lem (𝜑𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
2 dvres.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 22634 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 10055 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
6 ssexg 4837 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 21012 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
101, 9syl5eqel 2734 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Top)
11 inss1 3866 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
12 dvres.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
1311, 12syl5ss 3647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
142cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15 resttopon 21013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1614, 4, 15sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
171, 16syl5eqel 2734 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18 toponuni 20767 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝑇)
2013, 19sseqtrd 3674 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇)
21 difssd 3771 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑇𝐵) ⊆ 𝑇)
2220, 21unssd 3822 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)) ⊆ 𝑇)
23 inundif 4079 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
2412, 19sseqtrd 3674 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 𝑇)
25 ssdif 3778 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑇 → (𝐴𝐵) ⊆ ( 𝑇𝐵))
26 unss2 3817 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ( 𝑇𝐵) → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
2823, 27syl5eqssr 3683 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
29 eqid 2651 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
3029ntrss 20907 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)) ⊆ 𝑇𝐴 ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
3110, 22, 28, 30syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
32 dvres2lem.d . . . . . . 7 (𝜑𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33 dvres.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
34 dvres.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
351, 2, 33, 4, 34, 12eldv 23707 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
3632, 35mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)))
3736simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
3831, 37sseldd 3637 . . . 4 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
39 dvres2lem.x . . . 4 (𝜑𝑥𝐵)
4038, 39elind 3831 . . 3 (𝜑𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
41 dvres.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
4241, 19sseqtrd 3674 . . . . 5 (𝜑𝐵 𝑇)
43 inss2 3867 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
4443a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
45 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑇t 𝐵) = (𝑇t 𝐵)
4629, 45restntr 21034 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
4710, 42, 44, 46syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
481oveq1i 6700 . . . . . . 7 (𝑇t 𝐵) = ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵)
493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
50 restabs 21017 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5149, 41, 7, 50syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5248, 51syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5352fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝐵)) = (int‘(𝐾t 𝐵)))
5453fveq1d 6231 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
5547, 54eqtr3d 2687 . . 3 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
5640, 55eleqtrd 2732 . 2 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
57 limcresi 23694 . . . 4 (𝐺 lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
5836simprd 478 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))
5957, 58sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
60 difss 3770 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴𝐵)
6160, 43sstri 3645 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
6261sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧𝐵)
63 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
64 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6539, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6663, 65oveqan12rd 6710 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
6766oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6862, 67sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6968mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
7033reseq1i 5424 . . . . . 6 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
71 ssdif 3778 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
72 resmpt 5484 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
7311, 71, 72mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7470, 73eqtri 2673 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7569, 74syl6eqr 2703 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})))
7675oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
7759, 76eleqtrrd 2733 . 2 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
78 eqid 2651 . . 3 (𝐾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵)
79 eqid 2651 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)))
8041, 4sstrd 3646 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
81 fresin 6111 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8234, 81syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8378, 2, 79, 80, 82, 44eldv 23707 . 2 (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
8456, 77, 83mpbir2and 977 1 (𝜑𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   − cmin 10304   / cdiv 10722   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   limℂ climc 23671   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dvres2  23721
 Copyright terms: Public domain W3C validator