Theorem dvres3a 23869

Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. This version of dvres3 23868 assumes that 𝐹 is differentiable on its domain, but does not require 𝐹 to be differentiable on the whole real line. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvres3a.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvres3a	⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))

Proof of Theorem dvres3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldv 23825	. . 3 ⊢ Rel (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))
2		recnprss 23859	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	2	ad2antrr 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		simplr 809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		inss2 3969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
6		fssres 6223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑆 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
7	4, 5, 6	sylancl 697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
8		rescom 5573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑆) = ((𝐹 ↾ 𝑆) ↾ 𝐴)
9		resres 5559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑆) ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (𝑆 ∩ 𝐴))
10	8, 9	eqtri 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑆) = (𝐹 ↾ (𝑆 ∩ 𝐴))
11		ffn 6198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
12		fnresdm 6153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
14	13	reseq1d 5542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ 𝑆) = (𝐹 ↾ 𝑆))
15	10, 14	syl5eqr 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∩ 𝐴)) = (𝐹 ↾ 𝑆))
16	15	feq1d 6183	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ 𝑆):(𝑆 ∩ 𝐴)⟶ℂ))
17	7, 16	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ 𝑆):(𝑆 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
18		inss1 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑆)
20	3, 17, 19	dvbss 23856	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ⊆ (𝑆 ∩ 𝐴))
21		dmres 5569	. . . . 5 ⊢ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom (ℂ D 𝐹))
22		simprr 813	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)
23	22	ineq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = (𝑆 ∩ 𝐴))
24	21, 23	syl5eq 2798	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝐴))
25	20, 24	sseqtr4d 3775	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
26		relssres 5587	. . 3 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ∧ dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
27	1, 25, 26	sylancr 698	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
28		dvfg 23861	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))⟶ℂ)
29	28	ad2antrr 764	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))⟶ℂ)
30		ffun 6201	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))⟶ℂ → Fun (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → Fun (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
32		ssid 3757	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ℂ ⊆ ℂ)
34		dvres3a.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldtopon 22779	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
36		simprl 811	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝐽)
37		toponss 20925	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ℂ)
38	35, 36, 37	sylancr 698	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
39		dvres2 23867	. . . 4 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
40	33, 4, 38, 3, 39	syl22anc 1474	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
41		funssres 6083	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ∧ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
42	31, 40, 41	syl2anc 696	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
43	27, 42	eqtr3d 2788	1 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  {cpr 4315  dom cdm 5258   ↾ cres 5260  Rel wrel 5263  Fun wfun 6035   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℝcr 10119  TopOpenctopn 16276  ℂ_fldccnfld 19940  TopOnctopon 20909   D cdv 23818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-rest 16277  df-topn 16278  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-limc 23821  df-dv 23822

This theorem is referenced by:  dvnres  23885  dvmptres3  23910