MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres3a 24441
Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. This version of dvres3 24440 assumes that 𝐹 is differentiable on its domain, but does not require 𝐹 to be differentiable on the whole real line. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvres3a.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvres3a (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))

Proof of Theorem dvres3a
StepHypRef Expression
1 reldv 24397 . . 3 Rel (𝑆 D (𝐹𝑆))
2 recnprss 24431 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
32ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 inss2 4205 . . . . . . 7 (𝑆𝐴) ⊆ 𝐴
6 fssres 6538 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑆𝐴) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝑆𝐴)):(𝑆𝐴)⟶ℂ)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ (𝑆𝐴)):(𝑆𝐴)⟶ℂ)
8 rescom 5873 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑆) = ((𝐹𝑆) ↾ 𝐴)
9 resres 5860 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑆) ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (𝑆𝐴))
108, 9eqtri 2844 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑆) = (𝐹 ↾ (𝑆𝐴))
11 ffn 6508 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
12 fnresdm 6460 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
134, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1413reseq1d 5846 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑆) = (𝐹𝑆))
1510, 14syl5eqr 2870 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ (𝑆𝐴)) = (𝐹𝑆))
1615feq1d 6493 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝐹 ↾ (𝑆𝐴)):(𝑆𝐴)⟶ℂ ↔ (𝐹𝑆):(𝑆𝐴)⟶ℂ))
177, 16mpbid 233 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹𝑆):(𝑆𝐴)⟶ℂ)
18 inss1 4204 . . . . . 6 (𝑆𝐴) ⊆ 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆𝐴) ⊆ 𝑆)
203, 17, 19dvbss 24428 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (𝑆 D (𝐹𝑆)) ⊆ (𝑆𝐴))
21 dmres 5869 . . . . 5 dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom (ℂ D 𝐹))
22 simprr 769 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)
2322ineq2d 4188 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = (𝑆𝐴))
2421, 23syl5eq 2868 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = (𝑆𝐴))
2520, 24sseqtrrd 4007 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (𝑆 D (𝐹𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
26 relssres 5887 . . 3 ((Rel (𝑆 D (𝐹𝑆)) ∧ dom (𝑆 D (𝐹𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹𝑆)))
271, 25, 26sylancr 587 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹𝑆)))
28 dvfg 24433 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹𝑆))⟶ℂ)
2928ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹𝑆))⟶ℂ)
3029ffund 6512 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → Fun (𝑆 D (𝐹𝑆)))
31 ssidd 3989 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ℂ ⊆ ℂ)
32 dvres3a.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
3332cnfldtopon 23320 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
34 simprl 767 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐴𝐽)
35 toponss 21465 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3633, 34, 35sylancr 587 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37 dvres2 24439 . . . 4 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹𝑆)))
3831, 4, 36, 3, 37syl22anc 834 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹𝑆)))
39 funssres 6392 . . 3 ((Fun (𝑆 D (𝐹𝑆)) ∧ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹𝑆))) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
4030, 38, 39syl2anc 584 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
4127, 40eqtr3d 2858 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3934  wss 3935  {cpr 4561  dom cdm 5549  cres 5551  Rel wrel 5554  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  TopOpenctopn 16685  fldccnfld 20475  TopOnctopon 21448   D cdv 24390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-rest 16686  df-topn 16687  df-topgen 16707  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cnp 21766  df-haus 21853  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-limc 24393  df-dv 24394
This theorem is referenced by:  dvnres  24457  dvmptres3  24482
  Copyright terms: Public domain W3C validator