Theorem dvsqrt 24703

Description: The derivative of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvsqrt	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Proof of Theorem dvsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 11459	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		dvcxp1 24701	. . 3 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))))
4		rpcn 12054	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
5		cxpsqrt 24669	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
7	6	mpteq2ia 4892	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))
8	7	oveq2i 6825	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
9		1p0e1 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 0) = 1
10		ax-1cn 10206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		2halves 11472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
13	9, 12	eqtr4i 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
14		0cn 10244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		addsubeq4 10508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
16	10, 14, 1, 1, 15	mp4an 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
17	13, 16	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
18		df-neg 10481	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
19	17, 18	eqtr4i 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
20	19	oveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥↑𝑐-(1 / 2))
21		rpne0 12061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
22	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	4, 21, 22	cxpnegd 24681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
24	20, 23	syl5eq 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
25	6	oveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
26	24, 25	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
27	26	oveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
28	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
29		2cnne0 11454	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
31		rpsqrtcl 14224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnne0d 12094	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
33		divmuldiv 10937	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))) → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
34	28, 28, 30, 32, 33	syl22anc 1478	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
35		1t1e1 11387	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
36	35	oveq1i 6824	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
37	34, 36	syl6eq 2810	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
38	27, 37	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
39	38	mpteq2ia 4892	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
40	3, 8, 39	3eqtr3i 2790	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  ℝ⁺crp 12045  √csqrt 14192   D cdv 23846  ↑_𝑐ccxp 24522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524

This theorem is referenced by:  loglesqrt  24719  divsqrtsumlem  24926  areacirclem1  33831