Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvxpaek 39461
Description: Derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvxpaek.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvxpaek.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvxpaek.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvxpaek.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvxpaek (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvxpaek
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvxpaek.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 9973 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 dvxpaek.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51, 4dvdmsscn 39457 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
7 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
86, 7sseldd 3584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 dvxpaek.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10addcld 10003 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
12 1red 9999 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
13 0red 9985 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 10013 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 + 0) ∈ ℝ)
15 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
16 dvxpaek.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11295 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1915, 18expcld 12948 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝐾) ∈ ℂ)
2018nn0cnd 11297 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
21 nnm1nn0 11278 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2216, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2415, 23expcld 12948 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
2520, 24mulcld 10004 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
261, 4dvmptidg 39436 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ 1))
271, 4, 9dvmptconst 39434 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
281, 8, 12, 26, 10, 13, 27dvmptadd 23629 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝑥 + 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (1 + 0)))
29 dvexp 23622 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐾))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1)))))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐾))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1)))))
31 oveq1 6611 . . 3 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝑦𝐾) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
32 oveq1 6611 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝑦↑(𝐾 − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))
3332oveq2d 6620 . . 3 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1))) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
341, 3, 11, 14, 19, 25, 28, 30, 31, 33dvmptco 23641 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0))))
35 1p0e1 11077 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
3635oveq2i 6615 . . . . 5 ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1)
3736a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1))
3816nncnd 10980 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℂ)
4022adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
4111, 40expcld 12948 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10004 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
4342mulid1d 10001 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
4437, 43eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
4544mpteq2dva 4704 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
4634, 45eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {cpr 4150  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cexp 12800  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  fldccnfld 19665   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  dvnxpaek  39463
  Copyright terms: Public domain W3C validator