Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvxpaek 42101
Description: Derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvxpaek.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvxpaek.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvxpaek.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvxpaek.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvxpaek (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvxpaek
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvxpaek.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 10618 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 dvxpaek.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51, 4dvdmsscn 42097 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
86, 7sseldd 3965 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 dvxpaek.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10addcld 10648 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
12 1red 10630 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
13 0red 10632 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 10658 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 + 0) ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
16 dvxpaek.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11943 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1915, 18expcld 13498 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝐾) ∈ ℂ)
2018nn0cnd 11945 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
21 nnm1nn0 11926 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2216, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2415, 23expcld 13498 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
2520, 24mulcld 10649 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
261, 4dvmptidg 42077 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ 1))
271, 4, 9dvmptconst 42075 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
281, 8, 12, 26, 10, 13, 27dvmptadd 24484 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝑥 + 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (1 + 0)))
29 dvexp 24477 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐾))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1)))))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐾))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1)))))
31 oveq1 7152 . . 3 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝑦𝐾) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
32 oveq1 7152 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝑦↑(𝐾 − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))
3332oveq2d 7161 . . 3 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1))) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
341, 3, 11, 14, 19, 25, 28, 30, 31, 33dvmptco 24496 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0))))
35 1p0e1 11749 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
3635oveq2i 7156 . . . . 5 ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1)
3736a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1))
3816nncnd 11642 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℂ)
4022adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
4111, 40expcld 13498 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10649 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
4342mulid1d 10646 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
4437, 43eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
4544mpteq2dva 5152 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
4634, 45eqtrd 2853 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  {cpr 4559  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cexp 13417  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvnxpaek  42103
  Copyright terms: Public domain W3C validator