Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icoseg2 30649
Description: For any point and any open interval of containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑛,𝑏,𝑥   𝐸,𝑏,𝑥   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2760 . . . . . 6 (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 30648 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3104 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1133 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐸)
8 iooex 12391 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7265 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 20972 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
12 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sseldi 3742 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413, 1syl6eleqr 2850 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸𝐽)
15 eqid 2760 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1615rexmet 22795 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
17 recms 23368 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CMetSp
18 cmsms 23345 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 22460 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 fld ∈ ∞MetSp
21 retopn 23367 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
221, 21eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
23 rebase 20154 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
24 reds 20164 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
2524reseq1i 5547 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 22457 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
2827elmopn2 22451 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3029simprbi 483 . . . . . 6 (𝐸𝐽 → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
32 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 3773 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3433rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3534rspcva 3447 . . . . 5 ((𝑋𝐸 ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 696 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
37 rpre 12032 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 22796 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 3773 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4037, 39sylan2 492 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4140rexbidva 3187 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
42413ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4336, 42mpbid 222 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)
44 r19.29 3210 . . 3 ((∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 696 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
46 r19.41v 3227 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
47 sstr 3752 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → 𝑏𝐸)
4847anim2i 594 . . . . . 6 ((𝑋𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
4948anassrs 683 . . . . 5 (((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
5049reximi 3149 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5146, 50sylbir 225 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5251rexlimivw 3167 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   × cxp 5264  ran crn 5267  cres 5268  ccom 5270  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  cz 11569  +crp 12025  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  cfl 12785  cexp 13054  abscabs 14173  distcds 16152  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938  fldcrefld 20152  ∞MetSpcxme 22323  MetSpcmt 22324  CMetSpccms 23329   logb clogb 24701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-refld 20153  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-fcls 21946  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-cfil 23253  df-cmet 23255  df-cms 23332  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-logb 24702
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  30652
  Copyright terms: Public domain W3C validator