Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocct 30147
 Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocct ran 𝑅 ≼ ω
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocct
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2 znnen 14877 . . . . . 6 ℤ ≈ ℕ
3 nnct 12728 . . . . . 6 ℕ ≼ ω
4 endomtr 7966 . . . . . 6 ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → ℤ ≼ ω)
52, 3, 4mp2an 707 . . . . 5 ℤ ≼ ω
6 ovex 6638 . . . . . . 7 ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
76rgen2w 2920 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
87mpt2cti 29359 . . . . 5 ((ℤ ≼ ω ∧ ℤ ≼ ω) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω)
95, 5, 8mp2an 707 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ≼ ω
101, 9eqbrtri 4639 . . 3 𝐼 ≼ ω
11 rnct 9299 . . 3 (𝐼 ≼ ω → ran 𝐼 ≼ ω)
1210, 11ax-mp 5 . 2 ran 𝐼 ≼ ω
13 vex 3192 . . . . . 6 𝑢 ∈ V
14 vex 3192 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
1513, 14xpex 6922 . . . . 5 (𝑢 × 𝑣) ∈ V
1615rgen2w 2920 . . . 4 𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼(𝑢 × 𝑣) ∈ V
1716mpt2cti 29359 . . 3 ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
18 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
1918breq1i 4625 . . . 4 (𝑅 ≼ ω ↔ (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω)
2019biimpri 218 . . 3 ((𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ≼ ω → 𝑅 ≼ ω)
21 rnct 9299 . . 3 (𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ≼ ω)
2217, 20, 213syl 18 . 2 ((ran 𝐼 ≼ ω ∧ ran 𝐼 ≼ ω) → ran 𝑅 ≼ ω)
2312, 12, 22mp2an 707 1 ran 𝑅 ≼ ω
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ran crn 5080  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↦ cmpt2 6612  ωcom 7019   ≈ cen 7904   ≼ cdom 7905  1c1 9889   + caddc 9891   / cdiv 10636  ℕcn 10972  2c2 11022  ℤcz 11329  (,)cioo 12125  [,)cico 12127  ↑cexp 12808  topGenctg 16030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-ac2 9237  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-ac 8891  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640 This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  30152
 Copyright terms: Public domain W3C validator