Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocucvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocucvr 30151
Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocucvr ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unissb 4440 . . 3 ( ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3 vex 3192 . . . . . 6 𝑢 ∈ V
4 vex 3192 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
53, 4xpex 6922 . . . . 5 (𝑢 × 𝑣) ∈ V
62, 5elrnmpt2 6733 . . . 4 (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8 pwssb 4583 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9 dya2ioc.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
119, 10elrnmpt2 6733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
1413zred 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 2re 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2016, 18, 19reexpclzd 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
2221, 18, 19expne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
2314, 20, 22redivcld 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24 1red 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
2514, 24readdcld 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2625, 20, 22redivcld 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
2726rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28 icossre 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
2923, 27, 28syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
3012, 29eqsstrd 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
3130ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
3231rexlimivv 3030 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
3311, 32sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ran 𝐼𝑑 ⊆ ℝ)
348, 33mprgbir 2922 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
3534sseli 3583 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ran 𝐼𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
3635elpwid 4146 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran 𝐼𝑢 ⊆ ℝ)
3734sseli 3583 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
3837elpwid 4146 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ran 𝐼𝑣 ⊆ ℝ)
39 xpss12 5191 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
4036, 38, 39syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
4140adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
427, 41eqsstrd 3623 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
4342ex 450 . . . . 5 ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
4443rexlimivv 3030 . . . 4 (∃𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
456, 44sylbi 207 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝑅𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
461, 45mprgbir 2922 . 2 ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48 retop 22488 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4947, 48eqeltri 2694 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
5049, 49txtopi 21316 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51 uniretop 22489 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
5247unieqi 4416 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5351, 52eqtr4i 2646 . . . . . 6 ℝ = 𝐽
5449, 49, 53, 53txunii 21319 . . . . 5 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5554topopn 20643 . . . 4 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
5647, 9, 2dya2iocuni 30150 . . . 4 ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ))
5750, 55, 56mp2b 10 . . 3 𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58 simpr 477 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59 elpwi 4145 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅𝑐 ⊆ ran 𝑅)
6059adantr 481 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
6160unissd 4433 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ran 𝑅)
6258, 61eqsstr3d 3624 . . . 4 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ran 𝑅)
6362rexlimiva 3022 . . 3 (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ran 𝑅)
6457, 63ax-mp 5 . 2 (ℝ × ℝ) ⊆ ran 𝑅
6546, 64eqssi 3603 1 ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  wss 3559  𝒫 cpw 4135   cuni 4407   × cxp 5077  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  *cxr 10025   / cdiv 10636  2c2 11022  cz 11329  (,)cioo 12125  [,)cico 12127  cexp 12808  topGenctg 16030  Topctop 20630   ×t ctx 21286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-refld 19883  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-fcls 21668  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-cfil 22976  df-cmet 22978  df-cms 23055  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225  df-logb 24420
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  30152  sxbrsigalem2  30153  sxbrsigalem5  30155
  Copyright terms: Public domain W3C validator