Theorem dya2ub 30105

Description: An upper bound for a dyadic number. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dya2ub	⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅)

Proof of Theorem dya2ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11354	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 11646	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
4		relogbzcl 24407	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑅) ∈ ℝ)
5	3, 4	mpan 705	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑅) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 10402	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → -(2 logb 𝑅) ∈ ℝ)
7		flltp1 12538	. . . 4 ⊢ (-(2 logb 𝑅) ∈ ℝ → -(2 logb 𝑅) < ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → -(2 logb 𝑅) < ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
9		1z 11352	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		fladdz 12563	. . . . 5 ⊢ ((-(2 logb 𝑅) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(-(2 logb 𝑅) + 1)) = ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
11	6, 9, 10	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (⌊‘(-(2 logb 𝑅) + 1)) = ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
12	5	recnd 10013	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑅) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 9939	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		negsubdi 10282	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑅) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 logb 𝑅) − 1) = (-(2 logb 𝑅) + 1))
15		negsubdi2 10285	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑅) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 logb 𝑅) − 1) = (1 − (2 logb 𝑅)))
16	14, 15	eqtr3d 2662	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑅) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(2 logb 𝑅) + 1) = (1 − (2 logb 𝑅)))
17	12, 13, 16	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(2 logb 𝑅) + 1) = (1 − (2 logb 𝑅)))
18	17	fveq2d 6154	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (⌊‘(-(2 logb 𝑅) + 1)) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
19	11, 18	eqtr3d 2662	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
20	8, 19	breqtrd 4644	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → -(2 logb 𝑅) < (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
21	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
22		2rp 11781	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 10000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
25	24, 5	resubcld 10403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝑅)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))) ∈ ℤ)
27	23, 26	rpexpcld 12969	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))) ∈ ℝ+)
28	27	rpreccld 11826	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ+)
29		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ+)
30		logblt 24417	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) < (2 logb 𝑅)))
31	21, 28, 29, 30	syl3anc 1323	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) < (2 logb 𝑅)))
32		logbrec 24415	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))) ∈ ℝ+) → (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) = -(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))))
33	21, 27, 32	syl2anc 692	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) = -(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))))
34	33	breq1d 4628	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) < (2 logb 𝑅) ↔ -(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < (2 logb 𝑅)))
35		relogbzcl 24407	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))) ∈ ℝ+) → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ)
36	21, 27, 35	syl2anc 692	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ)
37		ltnegcon1 10474	. . . . 5 ⊢ (((2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑅) ∈ ℝ) → (-(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < (2 logb 𝑅) ↔ -(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))))
38	36, 5, 37	syl2anc 692	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < (2 logb 𝑅) ↔ -(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))))
39	31, 34, 38	3bitrd 294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ -(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))))
40		nnlogbexp 24414	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
41	21, 26, 40	syl2anc 692	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
42	41	breq2d 4630	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ↔ -(2 logb 𝑅) < (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))
43	39, 42	bitrd 268	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ -(2 logb 𝑅) < (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))
44	20, 43	mpbird 247	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  ℝcr 9880  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019   − cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  2c2 11015  ℤcz 11322  ℤ_≥cuz 11631  ℝ⁺crp 11776  ⌊cfl 12528  ↑cexp 12797   log_b clogb 24397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202  df-cxp 24203  df-logb 24398

This theorem is referenced by:  dya2icoseg  30112