Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisj Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
dyaddisj ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
21dyadf 23551 . . . 4 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
3 ffn 6198 . . . 4 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
4 ovelrn 6967 . . . . 5 (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐴 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐)))
5 ovelrn 6967 . . . . 5 (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
64, 5anbi12d 749 . . . 4 (𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) → ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))))
72, 3, 6mp2b 10 . . 3 ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
8 reeanv 3237 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
97, 8bitr4i 267 . 2 ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
10 reeanv 3237 . . . 4 (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)))
11 nn0re 11485 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
1211ad2antrl 766 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
13 nn0re 11485 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
1413ad2antll 767 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
151dyaddisjlem 23555 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑐𝑑) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
16 ancom 465 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ))
17 ancom 465 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0))
1816, 17anbi12i 735 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)))
191dyaddisjlem 23555 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
2018, 19sylanb 490 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑𝑐) → (([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
21 orcom 401 . . . . . . . . . 10 ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
22 incom 3940 . . . . . . . . . . 11 (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
2322eqeq1i 2757 . . . . . . . . . 10 ((((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)
2421, 23orbi12i 544 . . . . . . . . 9 (((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
25 df-3or 1073 . . . . . . . . 9 ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅))
26 df-3or 1073 . . . . . . . . 9 ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅) ↔ ((([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
2724, 25, 263bitr4i 292 . . . . . . . 8 ((([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ (((,)‘(𝑏𝐹𝑑)) ∩ ((,)‘(𝑎𝐹𝑐))) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
2820, 27sylib 208 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑑𝑐) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
2912, 14, 15, 28lecasei 10327 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
30 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐))
3130fveq2d 6348 . . . . . . . 8 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐴) = ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)))
32 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑))
3332fveq2d 6348 . . . . . . . 8 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ([,]‘𝐵) = ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)))
3431, 33sseq12d 3767 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ↔ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑))))
3533, 31sseq12d 3767 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ↔ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐))))
3630fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐴) = ((,)‘(𝑎𝐹𝑐)))
3732fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((,)‘𝐵) = ((,)‘(𝑏𝐹𝑑)))
3836, 37ineq12d 3950 . . . . . . . 8 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))))
3938eqeq1d 2754 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅ ↔ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅))
4034, 35, 393orbi123d 1539 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → ((([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅) ↔ (([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ⊆ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ∨ ([,]‘(𝑏𝐹𝑑)) ⊆ ([,]‘(𝑎𝐹𝑐)) ∨ (((,)‘(𝑎𝐹𝑐)) ∩ ((,)‘(𝑏𝐹𝑑))) = ∅)))
4129, 40syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
4241rexlimdvva 3168 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
4310, 42syl5bir 233 . . 3 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅)))
4443rexlimivv 3166 . 2 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (∃𝑐 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑎𝐹𝑐) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 𝐵 = (𝑏𝐹𝑑)) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
459, 44sylbi 207 1 ((𝐴 ∈ ran 𝐹𝐵 ∈ ran 𝐹) → (([,]‘𝐴) ⊆ ([,]‘𝐵) ∨ ([,]‘𝐵) ⊆ ([,]‘𝐴) ∨ (((,)‘𝐴) ∩ ((,)‘𝐵)) = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∃wrex 3043   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  ⟨cop 4319   class class class wbr 4796   × cxp 5256  ran crn 5259   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807  ℝcr 10119  1c1 10121   + caddc 10123   ≤ cle 10259   / cdiv 10868  2c2 11254  ℕ0cn0 11476  ℤcz 11561  (,)cioo 12360  [,]cicc 12363  ↑cexp 13046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-ioo 12364  df-icc 12367  df-seq 12988  df-exp 13047 This theorem is referenced by:  dyadmbl  23560  mblfinlem2  33752
 Copyright terms: Public domain W3C validator