Theorem dyadf 24186

Description: The function 𝐹 returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadf	⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem dyadf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	lep1d 11565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ (𝑥 + 1))
4		peano2re 10807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6		2nn 11704	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		nnexpcl 13436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
8	6, 7	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
9	8	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
10	9	nnred 11647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 11680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝑦))
12		lediv1 11499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑦))) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
13	2, 5, 10, 11, 12	syl112anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑥 + 1) ↔ (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))))
14	3, 13	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)))
15		df-br 5059	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑦)) ≤ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ↔ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
16	14, 15	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ≤ )
17		nndivre 11672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
18	1, 8, 17	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
19	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
20		nndivre 11672	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑦) ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
21	19, 8, 20	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) ∈ ℝ)
22	18, 21	opelxpd 5587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	16, 22	elind 4170	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24	23	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
25		dyadmbl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
26	25	fmpo 7760	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
27	24, 26	mpbi 232	1 ⊢ 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058   × cxp 5547  ⟶wf 6345  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  dyaddisj  24191  dyadmax  24193  dyadmbllem  24194  dyadmbl  24195  opnmbllem  24196  opnmbllem0  34922  mblfinlem2  34924