MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  edgnbusgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem edgnbusgreu 26313
Description: For each edge incident to a vertex there is exactly one neighbor of the vertex also incident to this edge in a simple graph. (Contributed by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
edgnbusgreu.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
edgnbusgreu.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
edgnbusgreu.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
Assertion
Ref Expression
edgnbusgreu (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑛,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem edgnbusgreu
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
21adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph)
3 edgnbusgreu.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43eleq2i 2722 . . . . . . 7 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
54biimpi 206 . . . . . 6 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
65ad2antrl 764 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
7 simprr 811 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → 𝑀𝐶)
8 usgredg2vtxeu 26158 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑀𝐶) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
92, 6, 7, 8syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
10 df-reu 2948 . . . . 5 (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
11 prcom 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑀, 𝑛} = {𝑛, 𝑀}
1211eqeq2i 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
1413eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → (𝐶𝐸 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1514biimpcd 239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐸 → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1615ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1716adantld 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
1817imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
19 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
2018, 19jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
21 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
22 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
233, 22usgrpredgv 26134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2423simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
252, 21, 24syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
26 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
2725, 26jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
2820, 27impbida 895 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
2928eubidv 2518 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3029biimpd 219 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3110, 30syl5bi 232 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
329, 31mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
33 edgnbusgreu.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
3433eleq2i 2722 . . . . . . 7 (𝑛𝑁𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
353nbusgreledg 26294 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀) ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
3634, 35syl5bb 272 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛𝑁 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
3736anbi1d 741 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3837ad2antrr 762 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ((𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
3938eubidv 2518 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
4032, 39mpbird 247 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛(𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
41 df-reu 2948 . 2 (∃!𝑛𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛𝑁𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
4240, 41sylibr 224 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑉) ∧ (𝐶𝐸𝑀𝐶)) → ∃!𝑛𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  ∃!weu 2498  ∃!wreu 2943  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  USGraphcusgr 26089   NeighbVtx cnbgr 26269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-nbgr 26270
This theorem is referenced by:  nbusgrf1o0  26315
  Copyright terms: Public domain W3C validator