MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 14958
Description: Lemma for sin01bnd 14959 and cos01bnd 14960. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10033 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 12274 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 1096 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10106 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 10058 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 696 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 11349 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 14881 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 695 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 14219 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 12917 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 695 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 11135 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 10091 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 13110 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 11225 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 11082 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 11094 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 708 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 10059 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 695 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 11227 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 11094 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 695 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2651 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2651 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 14078 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 14070 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 1097 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 11907 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 11877 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 11883 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 14205 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 10096 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2689 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 1098 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 4707 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 14883 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 6705 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 6705 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 4711 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 11152 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 10078 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 11132 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 11137 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 10620 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 220 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 11138 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 10262 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 13003 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 11204 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3nn 11224 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
6463nncni 11068 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6559, 64addcomi 10265 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6661, 62, 653eqtr2ri 2680 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6758, 60, 663brtr3i 4714 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
68 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
69 1le2 11279 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
70 4z 11449 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
71 3lt4 11235 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7255, 17, 71ltleii 10198 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
7363nnzi 11439 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7473eluz1i 11733 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7570, 72, 74mpbir2an 975 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
76 leexp2a 12956 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7768, 69, 75, 76mp3an 1464 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
78 8re 11143 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7961, 78eqeltri 2726 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
80 2nn 11223 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
81 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8280, 10, 81mp2an 708 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8382nnrei 11067 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8456, 79, 83ltletri 10203 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8567, 77, 84mp2an 708 . . . . . 6 5 < (2↑4)
86 6re 11139 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8786, 83remulcli 10092 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
88 6pos 11157 . . . . . . . 8 0 < 6
8982nngt0i 11092 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
9086, 83, 88, 89mulgt0ii 10208 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9156, 83, 87, 90ltdiv1ii 10991 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9285, 91mpbi 220 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
93 df-5 11120 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
94 df-4 11119 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9594fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
96 3nn0 11348 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
97 facp1 13105 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
99 sq2 13000 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
10099, 94eqtr2i 2674 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
101100oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10295, 98, 1013eqtri 2677 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
103102oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10499oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
105 fac3 13107 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
106 6cn 11140 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
107105, 106eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10817recni 10090 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10999, 108eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
110107, 109, 109mulassi 10087 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111103, 104, 1103eqtr3i 2681 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
112 2p2e4 11182 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
113112oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
114 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
115 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
116 expadd 12942 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
117114, 115, 115, 116mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
118113, 117eqtr3i 2675 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
119118oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
120105oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
121111, 119, 1203eqtr2ri 2680 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12293, 121oveq12i 6702 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12382nncni 11068 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
124123mulid2i 10081 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
125124oveq1i 6700 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12682nnne0i 11093 . . . . . . . . 9 (2↑4) ≠ 0
127123, 126dividi 10796 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
128127oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
129 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
13086, 88gt0ne0ii 10602 . . . . . . . 8 6 ≠ 0
131129, 106, 123, 123, 130, 126divmuldivi 10823 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13286, 130rereccli 10828 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
133132recni 10090 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
134133mulid1i 10080 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
135128, 131, 1343eqtr3i 2681 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136125, 135eqtr3i 2675 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13792, 122, 1363brtr3i 4714 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
138 rpexpcl 12919 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13938, 70, 138sylancl 695 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
140 elrp 11872 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
141 ltmul2 10912 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14224, 132, 141mp3an12 1454 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143140, 142sylbi 207 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144139, 143syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
145137, 144mpbii 223 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14616recnd 10106 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
147 divrec 10739 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148106, 130, 147mp3an23 1456 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149146, 148syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
150145, 149breqtrrd 4713 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15114, 26, 29, 52, 150lelttrd 10233 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  8c8 11114  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,]cioc 12214  cexp 12900  !cfa 13100  abscabs 14018  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  sin01bnd  14959  cos01bnd  14960
  Copyright terms: Public domain W3C validator