MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 14699
Description: Lemma for sin01bnd 14700 and cos01bnd 14701. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9851 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 9942 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 12063 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 703 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 1068 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 9924 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 9876 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 693 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 11158 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 14622 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 692 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 13969 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 12694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 692 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 10944 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 9909 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 12887 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 11034 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 10891 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 10903 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 703 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 9877 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 692 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 11036 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 10903 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 692 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2609 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2609 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 13828 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 13820 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 6537 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 1069 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 11701 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 11671 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 11677 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 13955 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 6543 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2655 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 9914 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2647 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 1070 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 4599 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 14624 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 6542 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 6542 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 4603 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 10961 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 10941 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 10946 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 10431 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 218 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 10947 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 10075 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 12780 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 11013 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3nn 11033 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
6463nncni 10877 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6559, 64addcomi 10078 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6661, 62, 653eqtr2ri 2638 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6758, 60, 663brtr3i 4606 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
68 2re 10937 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
69 1le2 11088 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
70 4z 11244 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
71 3lt4 11044 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7255, 17, 71ltleii 10011 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
7363nnzi 11234 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7473eluz1i 11527 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7570, 72, 74mpbir2an 956 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
76 leexp2a 12733 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7768, 69, 75, 76mp3an 1415 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
78 8re 10952 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7961, 78eqeltri 2683 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
80 2nn 11032 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
81 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8280, 10, 81mp2an 703 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8382nnrei 10876 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8456, 79, 83ltletri 10016 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8567, 77, 84mp2an 703 . . . . . 6 5 < (2↑4)
86 6re 10948 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8786, 83remulcli 9910 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
88 6pos 10966 . . . . . . . 8 0 < 6
8982nngt0i 10901 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
9086, 83, 88, 89mulgt0ii 10021 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9156, 83, 87, 90ltdiv1ii 10802 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9285, 91mpbi 218 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
93 df-5 10929 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
94 df-4 10928 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9594fveq2i 6091 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
96 3nn0 11157 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
97 facp1 12882 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
99 sq2 12777 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
10099, 94eqtr2i 2632 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
101100oveq2i 6538 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10295, 98, 1013eqtri 2635 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
103102oveq1i 6537 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10499oveq2i 6538 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
105 fac3 12884 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
106 6cn 10949 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
107105, 106eqeltri 2683 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10817recni 9908 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10999, 108eqeltri 2683 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
110107, 109, 109mulassi 9905 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111103, 104, 1103eqtr3i 2639 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
112 2p2e4 10991 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
113112oveq2i 6538 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
114 2cn 10938 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
115 2nn0 11156 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
116 expadd 12719 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
117114, 115, 115, 116mp3an 1415 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
118113, 117eqtr3i 2633 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
119118oveq2i 6538 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
120105oveq1i 6537 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
121111, 119, 1203eqtr2ri 2638 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12293, 121oveq12i 6539 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12382nncni 10877 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
124123mulid2i 9899 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
125124oveq1i 6537 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12682nnne0i 10902 . . . . . . . . 9 (2↑4) ≠ 0
127123, 126dividi 10607 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
128127oveq2i 6538 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
129 ax-1cn 9850 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
13086, 88gt0ne0ii 10413 . . . . . . . 8 6 ≠ 0
131129, 106, 123, 123, 130, 126divmuldivi 10634 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13286, 130rereccli 10639 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
133132recni 9908 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
134133mulid1i 9898 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
135128, 131, 1343eqtr3i 2639 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136125, 135eqtr3i 2633 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13792, 122, 1363brtr3i 4606 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
138 rpexpcl 12696 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13938, 70, 138sylancl 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
140 elrp 11666 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
141 ltmul2 10723 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14224, 132, 141mp3an12 1405 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143140, 142sylbi 205 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144139, 143syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
145137, 144mpbii 221 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14616recnd 9924 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
147 divrec 10550 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148106, 130, 147mp3an23 1407 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149146, 148syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
150145, 149breqtrrd 4605 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15114, 26, 29, 52, 150lelttrd 10046 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  5c5 10920  6c6 10921  8c8 10923  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  +crp 11664  (,]cioc 12003  cexp 12677  !cfa 12877  abscabs 13768  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  sin01bnd  14700  cos01bnd  14701
  Copyright terms: Public domain W3C validator