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Theorem efaddlem 15434
Description: Lemma for efadd 15435 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
efaddlem (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 efadd.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcld 10648 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 efadd.3 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54efcvg 15426 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7 efadd.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
87eftval 15418 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
98adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
10 absexp 14652 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
111, 10sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12 faccl 13631 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14 nnre 11633 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15 nnnn0 11892 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 11946 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
1714, 16absidd 14770 . . . . . . 7 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1813, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1911, 18oveq12d 7163 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20 expcl 13435 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
211, 20sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2213nncnd 11642 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
2313nnne0d 11675 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ≠ 0)
2421, 22, 23absdivd 14803 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
25 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2625eftval 15418 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2726adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2819, 24, 273eqtr4rd 2864 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))))
29 eftcl 15415 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
301, 29sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
31 efadd.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
3231eftval 15418 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
3332adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
34 eftcl 15415 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
352, 34sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
364eftval 15418 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3736adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
381adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
392adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
40 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
41 binom 15173 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4342oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
44 fzfid 13329 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
45 faccl 13631 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nncnd 11642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
48 bccl2 13671 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5049nncnd 11642 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
511ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52 fznn0sub 12927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 13498 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
552ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
56 elfznn0 12988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5855, 57expcld 13498 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
5954, 58mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
6050, 59mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
6146nnne0d 11675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≠ 0)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 15129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
6351, 57expcld 13498 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6457, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
6564nncnd 11642 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
6664nnne0d 11675 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ≠ 0)
6763, 65, 66divcld 11404 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
6831eftval 15418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
6953, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7055, 53expcld 13498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
71 faccl 13631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7253, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7372nncnd 11642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7472nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ≠ 0)
7570, 73, 74divcld 11404 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
7669, 75eqeltrd 2910 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7767, 76mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
78 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
79 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8078, 79oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
81 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8281fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
8380, 82oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8477, 83fsumrev2 15125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8531eftval 15418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
8657, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
8786oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
8872, 64nnmulcld 11678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
8988nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
9088nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ≠ 0)
9159, 89, 90divrec2d 11408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 11445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
93 bcval2 13653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9594oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
9647adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9761adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 11429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9996, 97dividd 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
10099oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10198, 100eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10295, 101eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
103102oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
10491, 92, 1033eqtr4rd 2864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
10587, 104eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
106 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
107106ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
108107addid2d 10829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
109108oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘𝑗))
110109oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘𝑗)))
111109fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘𝑗)))
112110, 111oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
113109oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘𝑗)))
114 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
11557, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
116107, 115nncand 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘𝑗)) = 𝑗)
117113, 116eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
118117fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺𝑗))
119112, 118oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)))
12050, 59, 96, 97div23d 11441 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
121105, 119, 1203eqtr4rd 2864 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
122121sumeq2dv 15048 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
123 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
124123oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
125123fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
126124, 125oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
127123oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
128127fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
129126, 128oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
130129cbvsumv 15041 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131122, 130syl6eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
13284, 131eqtr4d 2856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
13362, 132eqtr4d 2856 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13443, 133eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13537, 134eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
1361abscld 14784 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
137136recnd 10657 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13825efcllem 15419 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
139137, 138syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14031efcllem 15419 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1412, 140syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 15230 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
143 efval 15421 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
1441, 143syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
145 efval 15421 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
1462, 145syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
147144, 146oveq12d 7163 . . 3 (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
148142, 147breqtrrd 5085 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
149 climuni 14897 . 2 ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
1506, 148, 149syl2anc 584 1 (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cexp 13417  !cfa 13621  Ccbc 13650  abscabs 14581  cli 14829  Σcsu 15030  expce 15403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409
This theorem is referenced by:  efadd  15435
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