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 Description: Lemma for efadd 14749 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efaddlem (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 efadd.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcld 10003 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 efadd.3 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54efcvg 14740 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7 efadd.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
87eftval 14732 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
98adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
10 absexp 13978 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
111, 10sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12 faccl 13010 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14 nnre 10971 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15 nnnn0 11243 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 11298 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
1714, 16absidd 14095 . . . . . . 7 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1813, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1911, 18oveq12d 6622 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20 expcl 12818 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
211, 20sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2213nncnd 10980 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
2313nnne0d 11009 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ≠ 0)
2421, 22, 23absdivd 14128 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
25 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2625eftval 14732 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2726adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2819, 24, 273eqtr4rd 2666 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))))
29 eftcl 14729 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
301, 29sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
31 efadd.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
3231eftval 14732 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
3332adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
34 eftcl 14729 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
352, 34sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
364eftval 14732 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3736adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
381adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
392adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
40 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
41 binom 14487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4342oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
44 fzfid 12712 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
45 faccl 13010 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nncnd 10980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
48 bccl2 13050 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5049nncnd 10980 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
511ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
52 fznn0sub 12315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 12948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
552ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
56 elfznn0 12374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5855, 57expcld 12948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
5954, 58mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
6050, 59mulcld 10004 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
6146nnne0d 11009 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≠ 0)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 14446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
6351, 57expcld 12948 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6457, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
6564nncnd 10980 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
6664nnne0d 11009 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ≠ 0)
6763, 65, 66divcld 10745 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
6831eftval 14732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
6953, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7055, 53expcld 12948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
71 faccl 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7253, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7372nncnd 10980 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7472nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ≠ 0)
7570, 73, 74divcld 10745 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
7669, 75eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7767, 76mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
78 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
79 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8078, 79oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
81 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8281fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
8380, 82oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8477, 83fsumrev2 14442 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8531eftval 14732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
8657, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
8786oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
8872, 64nnmulcld 11012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
8988nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
9088nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ≠ 0)
9159, 89, 90divrec2d 10749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 10786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
93 bcval2 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9594oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
9647adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9761adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 10770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9996, 97dividd 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
10099oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10198, 100eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10295, 101eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
103102oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
10491, 92, 1033eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
10587, 104eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
106 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
107106ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
108107addid2d 10181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
109108oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘𝑗))
110109oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘𝑗)))
111109fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘𝑗)))
112110, 111oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
113109oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘𝑗)))
114 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
11557, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
116107, 115nncand 10341 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘𝑗)) = 𝑗)
117113, 116eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
118117fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺𝑗))
119112, 118oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)))
12050, 59, 96, 97div23d 10782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
121105, 119, 1203eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
122121sumeq2dv 14367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
123 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
124123oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
125123fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
126124, 125oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
127123oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
128127fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
129126, 128oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
130129cbvsumv 14360 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131122, 130syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
13284, 131eqtr4d 2658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
13362, 132eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13443, 133eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13537, 134eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
1361abscld 14109 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
137136recnd 10012 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13825efcllem 14733 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
139137, 138syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14031efcllem 14733 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1412, 140syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 14543 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
143 efval 14735 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
1441, 143syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
145 efval 14735 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
1462, 145syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
147144, 146oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
148142, 147breqtrrd 4641 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
149 climuni 14217 . 2 ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
1506, 148, 149syl2anc 692 1 (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ...cfz 12268  seqcseq 12741  ↑cexp 12800  !cfa 13000  Ccbc 13029  abscabs 13908   ⇝ cli 14149  Σcsu 14350  expce 14717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723 This theorem is referenced by:  efadd  14749
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