MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  effsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem effsumlt 14777
Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function of a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11674 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11341 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
43eftval 14743 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
6 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 11824 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 reeftcl 14741 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
97, 8sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 12778 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12 effsumlt.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12ffvelrnd 6321 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14 eqid 2621 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
15 peano2nn0 11285 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1612, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
18 nn0z 11352 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 12827 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
206, 18, 19syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
21 faccl 13018 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322nnrpd 11822 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
2420, 23rpdivcld 11841 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
255, 24eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
267recnd 10020 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
273efcllem 14744 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 14, 16, 17, 25, 28isumrpcl 14511 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
3013, 29ltaddrpd 11857 . 2 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
313efval2 14750 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3310recnd 10020 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
341, 14, 16, 17, 33, 28isumsplit 14508 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
3512nn0cnd 11305 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 9946 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
37 pncan 10239 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3938oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 14373 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))
41 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4212, 1syl6eleq 2708 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
43 elfznn0 12382 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4443, 33sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4541, 42, 44fsumser 14402 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4640, 45eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4746oveq1d 6625 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4832, 34, 473eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4930, 48breqtrrd 4646 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  +crp 11784  ...cfz 12276  seqcseq 12749  cexp 12808  !cfa 13008  cli 14157  Σcsu 14358  expce 14728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-ico 12131  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734
This theorem is referenced by:  efgt1p2  14780  efgt1p  14781
  Copyright terms: Public domain W3C validator