MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgh 24268
Description: The exponential function of a scaled complex number is a group homomorphism from the group of complex numbers under addition to the set of complex numbers under multiplication. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
efgh.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
efgh (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹𝐵) · (𝐹𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem efgh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1083 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp1r 1084 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3 cnfldbas 19731 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
43subgss 17576 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
6 simp2 1060 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐵𝑋)
75, 6sseldd 3596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 simp3 1061 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐶𝑋)
95, 8sseldd 3596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
101, 7, 9adddid 10049 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
1110fveq2d 6182 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))))
121, 7mulcld 10045 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
131, 9mulcld 10045 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14 efadd 14805 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
1512, 13, 14syl2anc 692 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
1611, 15eqtrd 2654 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
17 efgh.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
1918fveq2d 6182 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
2019cbvmptv 4741 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑦𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
2117, 20eqtri 2642 . . . 4 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
2221a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦))))
23 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
2423fveq2d 6182 . . . 4 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
2524adantl 482 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐵 + 𝐶)) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
26 cnfldadd 19732 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
2726subgcl 17585 . . . 4 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
28273adant1l 1316 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
29 fvexd 6190 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) ∈ V)
3022, 25, 28, 29fvmptd 6275 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
31 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
3231fveq2d 6182 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
3332adantl 482 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
34 fvexd 6190 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ V)
3522, 33, 6, 34fvmptd 6275 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹𝐵) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
36 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
3736fveq2d 6182 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
3837adantl 482 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ 𝑦 = 𝐶) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
39 fvexd 6190 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ V)
4022, 38, 8, 39fvmptd 6275 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
4135, 40oveq12d 6653 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → ((𝐹𝐵) · (𝐹𝐶)) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
4216, 30, 413eqtr4d 2664 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹𝐵) · (𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919   + caddc 9924   · cmul 9926  expce 14773  SubGrpcsubg 17569  fldccnfld 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-subg 17572  df-cnfld 19728
This theorem is referenced by:  efabl  24277
  Copyright terms: Public domain W3C validator